Divertissements mathématiques et logiques

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Cette page vous propose chaque mois une nouvelle énigme.
La 178e a été ajoutée en octobre 2024.

150 énigmes de cette rubrique ont fait l'objet de trois livres publés en 2018, 2020 et 2023, aux Editions Loisirs et Pédagogie. Pour en savoir plus, cliquez ici.

Dans la plupart des exercices, vous serez amenés à répondre à un certain nombre de questions présentées dans un ordre de difficultés croissantes. La résolution des questions les plus faciles vous mettra en confiance et vous encouragera à tenter de répondre aux questions plus complexes.

Les niveaux de difficulté vont de 1 étoile (*) à 5 étoiles (*****).

Vous trouvez ici (pdf) quelques notes et définitions destinées essentiellement à ceux dont l'école n'est plus qu'un lointain souvenir.

1. Les nombres triangulaires * Comme le montre la figure suivante, avec 10 boules, je peux former un triangle. C'est aussi le cas avec 3 boules et 6 boules. Les mathématiciens disent que 1 est aussi un nombre triangulaire. 1, 3, 6 et 10 sont donc des nombres triangulaires. Est-ce que 55 et 90 sont des nombres triangulaires ? Question subsidiaire : comment repérer un nombre triangulaire sans construire le triangle ? En tapant "nombre triangulaire" dans un moteur de recherche, vous trouverez plein d'autres informations sur ces nombres. Solution (pdf) Retour au haut de page

 

2. Les lapins ** L’énigme suivante est très connue. Elle a contribué à la célébrité de son auteur, l’un des plus célèbres mathématiciens de l’histoire : Leonardo Fibonacci qui vécut approximativement entre 1175 et 1240. Un homme a placé en janvier, dès leur naissance, un couple (ici un couple représente toujours un mâle et une femelle) de lapins dans un pâturage entouré d’un haut mur. Il cherchait à savoir combien il y aurait de couples de lapins plus tard dans ce pâturage. Il faut savoir qu’un couple de lapins engendre toujours (ce sont des conditions exceptionnelles) un autre couple de lapins chaque mois, mais seulement à partir du 2ème mois suivant leur naissance. Ainsi, un couple de lapins nés en janvier engendrera un autre couple en mars, puis un autre en avril, puis un autre en mai, etc. 1. Combien y aura-t-il de couples de lapins dans ce pâturage à la fin mars ? 2. Combien y aura-t-il de couples de lapins dans ce pâturage à la fin avril ? 3. Combien y aura-t-il de couples de lapins dans ce pâturage à la fin mai ? 4. Combien y aura-t-il de couples de lapins dans ce pâturage à la fin juillet ? 5. Combien y aura-t-il de couples de lapins dans ce pâturage à la fin décembre ? 6. Considérez le mois de janvier comme le mois 0, le mois de février comme le mois 1, le mois de mars comme le mois 2, le mois d’avril comme le mois 3, etc. Pour chaque numéro de mois, donnez le nombre de couples de lapins se trouvant dans ce pâturage à la fin de chaque mois. Vous remarquerez peut-être qu’il existe un procédé permettant de calculer rapidement, à partir du 3ème mois, le nombre total de couples se trouvant à la fin de chaque mois dans ce pâturage. Solutions (pdf) Retour au haut de page

 

3. Les carrés magique  **   *** Soit un carré composé lui-même d’un certain nombre de cases carrées ayant toutes la même grandeur. Ce carré est dit magique, lorsqu’après avoir mis un seul nombre dans chacune des cases, la somme des nombres de chaque ligne (horizontale), de chaque colonne (verticale) et des deux diagonales (principales) est toujours la même. Cette somme est appelée densité. Un carré magique est dit normal lorsque les nombres qui le composent sont des nombres entiers positifs consécutifs commençant par 1. L’ordre d’un carré magique est le nombre de lignes (ou de colonnes) qui le composent. Un carré magique d’ordre 3 contient forcément 9 nombres. Dans les exercices qui suivent, il est conseillé de vérifier les solutions après chaque exercice. 1. Quelle est la densité d’un carré magique normal d’ordre 3 ? Construis-en un. 2. Construis un carré magique d’ordre 3 ne contenant que des nombres pairs allant de 10 à 26. 3. Ce carré magique normal d’ordre 4 est étonnant. Pourquoi ?   1 12 7 14 15 6 9 4 10 3 16 5 8 13 2 11 4. Construis deux carrés magiques d’ordre 4 composés de nombres entiers positifs multiples de 5 dont le plus petit est 5. 5. Quelle est la densité d’un carré magique normal d’ordre 5 ? Construis-en un. 6. Quelle est la densité d’un carré magique contenant 81 nombres impairs consécutifs dont le plus petit est 13 ? Solutions (pdf) Retour au haut de page

 

4. La chèvre ***** Voici un problème très connu et assez difficile : une chèvre est attachée par une corde à un pieu fixé en un point de la circonférence d’un pré circulaire de 10 m de rayon. Pour quelle longueur de corde, la chèvre pourra-t-elle brouter la moitié de l’herbe du pré ? Solution (pdf) Retour au haut de page

 

5. Le tableau ** Denis veut colorier le tableau ci-dessous de telle sorte que deux plages voisines (non limitées à un point) n'aient jamais la même couleur. Combien de couleurs doit-il utiliser, au minimum ? Cette tableau comporte 16 plages. La réponse serait-elle la même pour un tableau ayant beaucoup plus de plages ?

Solutions (pdf) Retour au haut de page

 

6. Le nombre démultiplié *** Soit un nombre de 2 chiffres (ab). Pourquoi tout nombre de 2 chiffres multiplié successivement par 3, 7, 13 et 37 donne ababab ? Autrement dit, pourquoi ab x 3 x 7 x 13 x 37 = ababab ? Exemple: 85 x 3 x 7 x 13 x 37 = 858'585. Solution (pdf) Retour au haut de page

 

7. Les engrenages ** *** Dans un engrenage constitué de deux roues dentées reliées par deux axes parallèles, le rapport des vitesses des deux roues est égal à l’inverse du rapport de leurs nombres de dents. Une des roues est dite motrice (actionnée par exemple par un moteur) et l’autre est appelée roue réceptrice. Une roue motrice de 36 dents tourne à la vitesse de 600 tours/minute dans le sens des aiguilles d’une montre, et entraîne une roue réceptrice. a) Quel est le sens de rotation de la roue réceptrice ? b) Quelle est la vitesse de rotation d’une roue réceptrice de 72 dents ? c) Quelle est la vitesse de rotation d’une roue réceptrice de 27 dents ? d) Quel est le nombre de dents d’une roue réceptrice qui tourne à la vitesse de 480 tours/minute ? Dans le schéma suivant, les dents des engrenages ne sont pas représentées. La première roue (celle la plus à gauche) est la roue motrice. Elle tourne dans le sens inverse des aiguilles d’une montre, à la vitesse de 180 tours/minute. Les nombres de dents sont indiqués à l’intérieur de chacune des roues. e) Quel est le sens de rotation de la dernière roue ? f) Quelle est la vitesse de rotation de la dernière roue ? Solutions (pdf) Retour au haut de page

 

8. Les joueurs de cartes *** Jules et Marc jouent aux cartes avec un jeu traditionnel de jass à 36 cartes. Les règles de leur jeu sont assez étranges mais donnent parfois lieu à des situations étonnantes : l’atout est tiré au sort avant chaque distribution de cartes, les annonces ne comptent pas et chose la plus étrange, chacun voit, en plus de ses cartes, les cartes de son adversaire. Marc vient de distribuer les cartes et c’est cœur qui est atout. Jules a 5 cœurs (6, 7, 8, nell et dame), 2 trèfles (9 et as) et 2 piques (8 et as). Marc a 4 cœurs (10, bour, roi et as) et 5 carreaux (6, 7, 8, 9 et valet). Rappel : les 6, 7, 8 et 9 valent 0 point sauf le 9 d’atout (nell) qui vaut 14 points. Les valets valent 2 points sauf le valet d’atout (bour) qui vaut 20 points. Les 10, dames, rois et as valent respectivement 10, 3, 4 et 11 points. Celui qui gagne le dernier pli reçoit 5 points supplémentaires. C’est Jules qui doit commencer. Combien de points peut-il espérer faire au maximum sachant que Marc veut aussi en faire un maximum ? Quelle est la première carte que doit jouer Jules ? Solution (pdf) Retour au haut de page

 

9. Présentez un sympathique tour de magie  * Pour présenter ce tour, vous devez d’abord préparer les six cartes ci-dessous, sur du papier solide, si possible plastifié, en laissant une petite bordure, de façon que les cartes soient agréables à exposer.   1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 29 31 33 35 37 39 41 43 45 47 49 51 53 55 57 59 61 63 2 3 6 7 10 11 14 15 18 19 22 23 26 27 30 31 34 35 38 39 42 43 46 47 50 51 54 55 58 59 62 63 4 5 6 7 12 13 14 15 20 21 22 23 28 29 30 31 36 37 38 39 44 45 46 47 52 53 54 55 60 61 62 63 8 9 10 11 12 13 14 15 24 25 26 27 28 29 30 31 40 41 42 43 44 45 46 47 56 57 58 59 60 61 62 63 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 Demandez maintenant à une personne de penser à un nombre entier positif inférieur à 64. Présentez ensuite à cette personne successivement les six cartes (on peut les mélanger et les montrer dans n’importe quel ordre). La personne doit, pour chacune des cartes, dire si le nombre pensé est inscrit sur la carte ou s’il ne l’est pas. Faites mentalement la somme des premiers nombres (en haut à gauche) des cartes sur lesquelles se trouve le nombre pensé. Cette somme correspond forcément au nombre pensé ! Par exemple, si le nombre pensé est 45, il se trouve sur quatre cartes dont les premiers nombres en haut à gauche sont 1, 4, 8 et 32 et dont la somme est égale à 45. Si le nombre pensé ne figure sur une aucune carte, c’est le 0 qui a été pensé. Pourquoi ça marche ? Dessinez les 6 cartes avec les 32 cases par carte et inscrivez dans la case du haut à gauche un 1 sur une des cartes, un 2 sur une autre, un 4 sur une autre, un 8 sur une autre, un 16 sur une autre et un 32 sur la dernière carte. Ces 6 nombres n’apparaissent qu’une seule fois en tout. Tous les autres vont apparaître plusieurs fois. Complétez maintenant vos cartes en inscrivant le nombre 3 partout où il doit aller. Faites de même avec le nombre 5 puis avec tous les nombres non encore inscrits. Solution (pdf) Retour au haut de page

 

10. Les heures de l'horloge *  **  *** Pour noter les nombres représentant les heures de son horloge, Jules n'a employé pour chaque heure (de 1 à 12) que le chiffre 9, utilisé trois fois. De plus, il n’a eu besoin que des 4 signes d’opérations de base (+, ‑, x, :) ainsi que du signe de la racine carrée et de celui de la factorielle. Pour ceux dont l’école n’est plus qu’un lointain souvenir, rappelons que a! (on prononce a factorielle) = a (a - 1) (a - 2) (a - 3)...... x 1. Ainsi, 5! = 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 120. Par exemple, pour 2 heures, il a noté (9+9) : 9. Comment a-t-il fait pour les autres heures, sachant qu’aucun calcul ne nécessite l’utilisation d’une calculette ? Solution (pdf) Retour au haut de page

 

11. Le cadenas ** J'habite en Suisse et j'aimerais envoyer un cadeau à un ami qui habite Ivoltou, dans un pays lointain. Dans ce pays, chacun sait que les postiers sont indélicats. Ils dérobent systématiquement le contenu des paquets qui ne sont pas cadenassés. C'est pourquoi, chaque habitant d'Ivoltou a son propre cadenas et sa propre clé. Comment dois-je m'y prendre pour que mon cadeau arrive à destination sans être volé ? Solution (pdf) Retour au haut de page

 

12. L'aire du polygone * Le quadrillage ci-dessous est formé de carrés de 1 cm de côté. Les points A, B, C, D, E et F appartiennent à des croisements de ce quadrillage. Quelle est l’aire du polygone (hexagone non régulier) ABCDEF ? Note : ce petit exercice a pour but de vous faire découvrir le théorème de Pick. Solution (pdf) Retour au haut de page

 

13. Les cryptarithmes *  **  *** On appelle cryptarithme (ou cryptogramme) une opération mathématique dans laquelle certains chiffres (pas forcément tous) ont été remplacés par des lettres. Chaque lettre différente représente un chiffre différent et chaque chiffre est représenté par la même lettre. Un nombre ne peut évidemment pas commencer par zéro. Les e, é, è et ê sont considérés comme une même lettre. Exemple : AB5B représente un nombre de 4 chiffres qui peut valoir 1252 ou 3858 ou 5454 etc. Il ne peut pas valoir 9357 car dans ce cas B vaudrait 3 et 7. Il existe une multitude d’énigmes de ce genre. Souvent, il est nécessaire de faire de nombreux essais pour les résoudre. Les cryptarithmes les plus intéressants sont ceux qui peuvent être résolus par raisonnement, au moins en grande partie. Ce sont ceux-là qui nous intéressent ici. Un côté amusant s’ajoute au problème lorsque les lettres d’un cryptarithme forment des mots ayant un sens. Rappel : il n’existe que 10 chiffres (0, 1, 2, 3, 4, 5, 5, 7, 8, et 9) avec lesquels on peut écrire une infinité de nombres. Voici six cryptarithmes présentés dans un ordre croissant de difficultés : a) 24  .  AA = BAD. Quel nombre représente BAD  ? (il s'agit bien de 24 fois AA) b) BA + BA + BA = ABC. Quel nombre représente BA ? c) LUI + LUI = EUX. Quel est le plus petit nombre représentant EUX  ? Quel est le plus grand nombre représentant EUX  ? d) ANNA + RENE = AMOUR. Quels nombres représente RENE ? e) EUX  : 7 = LUI. Quels nombres représente LUI ? f) SUISSE + SUEDE = BRESIL. Quels nombres représente SUISSE ? Aux questions d, e et f, il est écrit « quels nombres ». Cela laisse supposer qu’il peut y avoir plusieurs solutions. Si c’est le cas, il faut les trouver toutes. Solutions (pdf) Retour au haut de page

 

14. Les nombres par ordre alphabétique ** Supposons que l'on ait écrit tous les nombres entiers en toutes lettres. Rangeons-les maintenant par ordre alphabétique. a) Quel est le premier de notre liste ? b) Quel est le deuxième ? c) Quel est le premier qui est impair ? Note : 1 million, c’est 1 suivi de 6 zéros ; 1 milliard, c’est 1 suivi de 9 zéros ; 1 billion, c’est 1 suivi de 12 zéros ; 1 billiard, c’est 1 suivi de 15 zéros ; 1 trillion, c’est 1 suivi de 18 zéros. Solution (pdf) Retour au haut de page

 

15. Les nombres premiers  ** Observez le tableau suivant. Dites comment il a été construit. Ce tableau peut être agrandi à l’infini. Recopiez-le et complétez les cases vides. 4 7 10 13 16 19             7 12 17 22 27 32             10 17 24 31 38 45             13 22 31 40 49 58             16 27 38 49 60 71             19 32 45 58 71 84                                     Une fois le tableau complété, dressez la liste, dans l’ordre croissant, de tous les nombres entiers naturels positifs inférieurs à 50 qui ne pourraient pas être dans ce tableau supposé complété à l’infini. Appelons A, cette liste. Prenez chacun des nombres de la liste A (dans l’ordre croissant), multipliez-le par 2 et ajoutez 1 au résultat. Vous obtiendrez une nouvelle liste de nombres que nous appellerons liste B. Que représente cette liste B ? Solutions (pdf) Retour au haut de page

 

16. Tour de magie n° 2 *** Demandez à quelqu’un de choisir trois nombres sans qu’il vous les dise. Demandez-lui de faire la somme du 1er et du 2ème, puis du 1er et du 3ème et enfin celle du 2ème et du 3ème. Réclamez-lui ces trois sommes, dans n’importe quel ordre. A partir de là, comme par magie, vous allez retrouver les trois nombres choisis au départ. Comment avez-vous fait ? Solution (pdf) Retour au haut de page

 

17. Le vélo  **   Le pédalier est la partie du vélo qui convertit le mouvement alternatif des jambes en un mouvement de rotation. Le pédalier est formé de deux pédales et de deux ou trois plateaux de différents diamètres, lesquels sont munis de dents. La cassette est un ensemble de roues dentées appelées pignons. La cassette est liée à la roue arrière, dite roue motrice. La roue avant est la roue libre. Le pédalier et la cassette sont reliés par une chaîne. Le dérailleur du pédalier permet de déplacer la chaîne sur le plateau et le dérailleur de la cassette permet de déplacer la chaîne sur les pignons. Les cyclistes parlent de changement de vitesse lorsqu’ils déplacent la chaîne. Le braquet est la combinaison entre le nombre de dents sur les plateaux et le nombre de dents sur les pignons. Si le vélo a 3 plateaux et 7 pignons, on dit que le vélo a 21 vitesses ou 21 braquets (ou encore 21 rapports). Le développement est la distance parcourue par le vélo en 1 tour de pédalier. Si la chaîne est sur un plateau de 48 dents et sur un pignon de 16 dents, alors, chaque tour du pédalier entraîne 3 rotations (braquet = 48/16 = 3) du pignon, et aussi 3 tours de la roue motrice. Dans ce cas, le développement est le produit de la circonférence de la roue par 3. Il est évident que plus la pente est grande, plus il faudra utiliser de petits développements. Sachant qu’un vélo a des roues de 70 cm de diamètre, calculez, en prenant 3,14 comme valeur du nombre pi : 1. La circonférence des roues de ce vélo. 2. Le développement de ce vélo lorsque la chaîne est sur le plateau de 48 dents et sur le pignon de 16 dents. 3. Le développement de ce vélo lorsque la chaîne est sur le plateau de 34 dents et sur le pignon de 21 dents. Solutions (pdf) Retour au haut de page

 

18. Un nombre très recherché  ** A l’aide d’une calculette, effectuez les opérations suivantes et donnez vos réponses en nombres décimaux arrondis au centième près. h) En continuant indéfiniment ce même type d’opérations dont la suite est facile à déduire, on obtient un nombre qui a été recherché pendant très longtemps. Quel est ce nombre illustre ? Solutions (pdf) Retour au haut de page

 

19. Le collier  ** Découpez un morceau de papier pour en faire un carré d’environ 10 cm de côté. A l’aide d’une paire de ciseaux, faites-en ensuite un collier suffisamment grand pour qu’il puisse passer autour de votre tête. Le collier doit être fermé (d’un seul tenant) et il est interdit de coller des morceaux. Prenez le temps de la réflexion avant d’aller voir les deux solutions données. Solutions (pdf) Retour au haut de page

 

20. Le système proportionnel  ***   **** Voici deux problèmes apparemment très proches. Le premier problème devrait pouvoir être résolu sans trop de difficultés. Le second est très embarrassant. Il peut vous amener vers de longues réflexions à la fois mathématiques et philosophiques. Six personnes (A, B, C, D, E et F) doivent se partager 9 kilos d’or. Combien chacune va-t-elle recevoir de grammes d’or sachant que A, B, C, D, E et F ont droit respectivement à 8002 parts, 4698 parts, 3651 parts, 2612 parts, 1790 parts et 1603 parts (on arrondira les parts d'or au gramme près) ? Neuf sièges doivent être attribués entre six partis A, B, C, D, E et F. Combien chaque parti va-t-il obtenir de sièges sachant qu’ils ont obtenu respectivement 8002 suffrages, 4698 suffrages, 3651 suffrages, 2612 suffrages, 1790 suffrages et 1603 suffrages et que la répartition des sièges se fait au système proportionnel (on ne tient pas compte du fait que, parfois, les partis n’ayant pas obtenu un pourcentage minimal de suffrages sont exclus de la répartition des sièges) ? Solutions (pdf) Retour au haut de page

 

21. Le carbone 14   *** Dans notre atmosphère, il y a trois types d’atomes de carbone : le carbone 12, le carbone 13, et le carbone 14. Les organismes vivants (animaux et végétaux) participent au cycle du carbone. Ils l’absorbent et l’assimilent. Tant qu’ils sont vivants, les organismes contiennent une proportion constante de carbone 14 par rapport à la quantité totale de carbone qu’ils contiennent. Dans le carbone absorbé, il n’y a qu’une très faible quantité de carbone 14. Plus précisément, 12 grammes de carbone contiennent  6,022 x 1023 atomes, lesquels renferment 5 x 1011 atomes de carbone 14. La quantité de carbone 14 est donc environ mille milliards de fois plus petite que la quantité de carbone. Lorsque qu’un organisme meurt, les échanges avec l’atmosphère cessent. La quantité de carbone 12 et de carbone 13 ne varie plus, tandis que le carbone 14 va se désintégrer petit à petit (on dit qu’il est instable) selon une loi exponentielle. La moitié du carbone 14 se désintègre en 5730 années. La moitié du reste se désintègre à nouveau en 5730 années. La moitié du reste mettra encore 5730 années pour se désintégrer, etc. On dit que le carbone 14 a une demi-vie de 5730 ans. Pour estimer l’âge d’un organisme d’origine animale ou végétale, il suffit d’évaluer le nombre d’atomes de carbone 14 restants dans 12 grammes de carbone prélevés sur cet organisme. Pour des échantillons plus petits, on préfère étudier le rapport entre la quantité de carbone 14 et la quantité totale de carbone. La marge d’erreur de la demi-vie du carbone 14 est de 40 ans, et la méthode de datation avec le carbone 14 n’est plus fiable au-delà de 50'000 ans. a) On considère un échantillon prélevé sur un organisme d’origine végétale contenant aujourd'hui 1,024 gramme de carbone 14. Combien restera-t-il de carbone 14 dans 5730 ans ? Combien restera-t-il de carbone 14 dans 22'920 ans ? Au bout de combien d’années, l’échantillon ne contiendra-t-il plus qu’un cent vingt-huitième de la quantité actuelle de carbone 14 ? b) En 2013, on a trouvé un squelette humain dont un bout d’os contenait 12 grammes de carbone renfermant 6,25 x 1010 atomes de carbone 14. A quelle époque cette personne vivait-elle ? Solutions (pdf) Retour au haut de page

 

22. Les carats  * Plusieurs métaux fondus ensemble constituent un alliage. Exemples de métaux purs : or, argent, platine, cuivre, étain, plomb, zinc, aluminium, fer, titane. Exemples d’alliages : bronze, laiton, inox, fonte. Pour diverse raisons (dureté, couleur…), les bijoux dits en or ne sont jamais faits uniquement d’or. Par exemple, un bijou en or jaune est un alliage composé d’or pur, d’argent et de cuivre. Pour les bijoutiers, le carat indique la masse d’or pur (en grammes) contenue dans 24 grammes d’alliage. Plus le carat est élevé, plus l’alliage est pur. Attention, le carat est aussi une unité de masse utilisée par les joailliers. Il correspond à 0,20 gramme. Marie possède un bijou de 16 grammes contenant 12 grammes d’or pur. De combien de carats est son bijou ? Solutions (pdf) Retour au haut de page

 

23. Les triplets de Pythagore  ** a) Construis en grandeur réelle un triangle de dimensions 4,5 cm, 6 cm et 7,5 cm. A quoi ressemble-t-il ? b) Soit m = 4,52, n = 62 et p = 7,52. Calculez m, n et p (réponses en nombres décimaux). Effectuez m + n. Que constatez-vous ? c) On appelle triplet de Pythagore, un ensemble de trois nombres entiers naturels (a, b, c) liés par la relation a2 + b2 = c2. Ce triplet est appelé primitif si a, b, et c sont premiers entre eux. Par définition, deux ou plusieurs nombres sont dits premiers entre eux si et seulement si leur plus grand diviseur commun (PGDC) est 1. Il existe une infinité de triplets primitifs de Pythagore. Il est facile de les trouver par la méthode attribuée au mathématicien Diophante qui vécut à Alexandrie au début de notre ère : Soit d et e, deux nombres entiers positifs, premiers entre eux, de parité différente (ils ne peuvent pas être tous les deux pairs ou tous les deux impairs), avec d < e. Les triplets cherchés sont obtenus de la manière suivante : (e2 – d2, 2ed, e 2 + d 2). Quels sont les triplets primitifs obtenus à partir des couples suivants qui représentent d et e ? c1) 1 et 2. c2) 1 et 4. c3) 2 et 3. c4) 3 et 8. c5) 5 et 6. Il existe de nombreuses propriétés appartenant aux triplets primitifs. c6) Que peut-on dire des nombres pairs dans les triplets primitifs ? c7) Que peut-on dire des multiples de 5 dans les triplets primitifs ? Solutions (pdf) Retour au haut de page

 

24. Le nombre d'or  *** Dessine un segment AC et un point B sur ce segment, placé quelque part entre A et C. Mesure de AB = 1. Mesure de BC = x. Si AB/BC = BC/AC, quelle est la mesure de x ? Solutions (pdf) Retour au haut de page

 

25. Coincez la reine  ***    **** Anne et Berthe ont dessiné un quadrillage contenant 196 cases carrées (en plus de celles contenant les coordonnées) comme indiqué ci-dessous. Chaque case peut être repérée par ses coordonnées, le premier nombre indiquant sa position horizontale et le second sa position verticale. Par exemple, la case x est repérée par (13, 10). Anne et Berthe jouent au jeu suivant : elles posent une reine sur une des 196 cases. Ensuite, elles la déplacent à tour de rôle. La reine peut se déplacer soit horizontalement vers la gauche, soit verticalement vers le bas, soit diagonalement vers le bas à gauche, et ce, d’autant de cases voulues. La première joueuse qui atteint la case (0, 0) gagne. Autrement dit, la première qui ne peut plus jouer a perdu. 13                             12                             11                             10                           x 9                             8                             7                             6                             5                             4                             3                             2                             1                             0                               0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 Dans les parties suivantes (a à e), c’est toujours Anne qui commence. a. Dans cette première partie, au départ, la reine est à la case (1, 3). Comment Anne doit-elle jouer son premier coup pour être sûre de gagner ? b. Dans la deuxième partie, au départ, la reine est à la case (6, 4). Comment Anne doit-elle jouer son premier coup pour être sûre de gagner ? c. Dans la troisième partie, au départ, la reine est à la case (7, 9). Comment Anne doit-elle jouer son premier coup pour être sûre de gagner ? d. Dans la quatrième partie, au départ, la reine est à la case (6, 10). Comment Anne doit-elle jouer son premier coup pour être sûre de gagner ? e. Dans ce jeu, il existe ce que l’on appelle des mauvaises cases. Une mauvaise case est une case qui ne permettra jamais de gagner à celle qui doit jouer alors que la reine est sur cette case, à condition que son adversaire joue correctement les coups suivants. Ce jeu fait partie des jeux de Nim auxquels j’ai consacré un chapitre dans mon livre « Les Clefs des Enigmes Mathématiques ». Ces mauvaises cases, appelons-les positions perdantes. Par convention, on parlera de positions perdantes ou gagnantes, par rapport à la personne à qui c’est le tour de jouer, alors que la reine est dans cette position. L’étude des jeux de Nim montre que celui qui a mis son adversaire dans une position perdante est assuré de gagner s’il joue correctement par la suite. Une position perdante ne peut conduire qu’à une position gagnante. Une position gagnante peut toujours conduire à une position perdante et peut parfois conduire à une position gagnante. Dans ce jeu, quelles sont les positions perdantes parmi les 196 cases ? Si vous deviez jouer à « Coincez la reine » sur un quadrillage infini, vous serait-il possible de trouver toutes les positions perdantes ? f. Il existe un lien entre les positions perdantes de ce jeu et le nombre d’or vu dans l’exercice 24 de cette même rubrique. Pour rappel, le nombre d'or est un nombre illimité non périodique valant approximativement 1,61803398. Quel est ce lien ? Solutions (pdf) Retour au haut de page

 

26. Le tournoi d'échecs  **    *** Lors d’un tournoi d’échecs, chaque concurrent se voit attribuer un numéro (1, 2, 3, 4, 5, 6, etc.) et doit jouer une seule fois contre chacun de ses adversaires. On désire organiser le tournoi de sorte que tous les joueurs puissent jouer en même temps. Ainsi, s’il y a 4 joueurs, on peut organiser les parties de la façon suivante : 1) 1 - 2, 3 - 4 (le joueur 1 joue contre le 2 et le 3 contre le 4). 2) 1 - 3, 2 - 4 3) 1 - 4, 2 - 3 Avec 4 joueurs, il y a 6 parties et 3 rondes. a) Pour 6 joueurs, combien faut-il de rondes et de parties ? Comment organiser les parties ? b) Pour 8 joueurs, combien faut-il de rondes et de parties ? Comment organiser les parties ? c) Pour 10 joueurs, combien faut-il de rondes et de parties ? Comment organiser les parties ? Solutions (pdf) Retour au haut de page

 

27. Le panneau triangulaire  **    *** Le panneau triangulaire (MNP) suivant a été posé à l’entrée d’une immense exposition. a) Calculez la valeur numérique demandée b) Quelle est l'aire du panneau ? Solutions (pdf) Retour au haut de page

 

28. Les formats A  *** Une grande feuille rectangulaire mesure x mm de long et y mm de large. Appelons-la A0. On la partage en deux rectangles identiques de manière à ce que les nouvelles feuilles obtenues aient y mm de long. On veut donc que la longueur des deux nouvelles feuilles soit égale à la largeur de la feuille A0. Chacune de ces nouvelles feuilles est appelée A1. On souhaite également que le rapport (r) longueur sur largeur des feuilles A0 et A1 soit identique. a) Que vaut le rapport r ? Une des feuilles A1 est partagée en deux feuilles rectangulaires identiques appelées chacune A2 de manière à ce que la longueur d’une feuille A2 soit égale à la largeur de la feuille A1. b) Que vaut le rapport longueur sur largeur d’une feuille A2 ? En partageant une feuille A2 en deux feuilles identiques comme on l’a fait pour A0 et A1 (chaque nouvelle feuille a une longueur qui correspond à la largeur de la feuille précédente), on obtient deux feuilles appelées A3. En continuant de la même manière, on obtient des feuilles nommées A4, puis A5, puis A6, etc. c) Selon la norme internationale ISO 216, les feuilles de format A sont basées sur une feuille de format A0 qui a une aire d’1 m2. Quelles sont les dimensions, au mm près, d’une feuille de format A0 ? d) Quelles sont, approximativement, les dimensions des feuilles de format A1, A2, A3, A4 et A5 ? Solutions (pdf) Retour au haut de page

 

29. Les radians  **  *** Un arc de cercle est une partie d'un cercle comprise entre deux points. Dans le croquis suivant, O est le centre du cercle. L'arc de cercle L2 d'extrémités C et D est appelé arc de cercle intercepté par l'angle de 90 degrés. L1 est l’arc de cercle d'extrémités A et B. Le rayon OA mesure 1 cm et le rayon OC est égal à 2 cm. a) Calculez L1 divisé par son rayon. b) Calculez L2 divisé par son rayon. c) L3 est un arc de cercle correspondant à un angle de 90° et à un rayon R. Calculez L3 divisé par son rayon. d) Que remarquez-vous en comparant les réponses de a, b et c. Est-ce étonnant ? e) Calculez le périmètre d’un cercle de rayon R divisé par son rayon. Dans le croquis suivant, O est le centre du cercle, et L est l'arc intercepté par l'angle A. Par définition, tout angle A (en radians) est défini ainsi : A = L / R. On donne à cet angle le nom de radian (rad). Pour des raisons pratiques (surtout en trigonométrie), les mathématiciens utilisent cette manière de faire pour calculer des angles autrement qu’en degrés. La relation entre les angles en degrés et les angles en radians est proportionnelle. f) A combien de radians correspond un angle de 90 degrés ? g) A combien de radians correspond un angle de 360 degrés ? h) A combien de radians correspond l’angle intérieur d’un triangle équilatéral ? i) A combien de degrés correspond un angle d’1 radian ? j) A combien de radians correspond un angle qui délimite un arc de cercle d'une longueur égale au rayon de ce cercle ? Solutions (pdf) Retour au haut de page

 

30. Recherche du plus grand diviseur commun (PGDC)  * Voici une paire de nombres : 5723 et 3599. Soustrayez le plus petit du plus grand et remplacez le plus grand par le résultat obtenu. Vous obtenez une nouvelle paire de nombres : 2124 et 3599. Avec cette nouvelle paire de nombres, soustrayez à nouveau le plus petit du plus grand et remplacez le plus grand par le résultat obtenu. Vous obtenez une nouvelle paire de nombres. Continuez ainsi jusqu’à ce que la paire obtenue soit formée de deux nombres égaux. Le nombre obtenu à la fin est le plus grand diviseur commun des deux nombres de départ. Quel est donc le PGDC de 5723 et 3599 ? Solution (pdf) Retour au haut de page

 

31. Le plus grand produit  *  **  *** **** Pour chaque exercice qui suit, un certain nombre de chiffres vous sont donnés. Vous ne pouvez les utiliser qu’une seule fois. Il s’agit à chaque fois de former avec ces chiffres deux nombres dont le produit est le plus grand possible. a) Chiffres disponibles : 1, 2, 3 et 4. b) Chiffres disponibles : 1, 2, 3, 4 et 5. c) Chiffres disponibles : 7, 9, 8, 2, 8 et 4. d) Chiffres disponibles : 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 et 9. e) Chiffres disponibles : 4, 8, 9, 2, 7, 5, 4, 4, 6, 7 et 9. Cherchez les solutions des trois premiers exercices par essais successifs. Ensuite, une observation minutieuse des solutions devrait pouvoir vous faire découvrir une méthode vous permettant de résoudre tous les problèmes du même type, quel que soit le nombre de chiffres donnés au départ. J’ai découvert cette méthode durant l’hiver 2013-2014. Mon ami Gérard Charrière m’a donné ensuite la preuve mathématique - pas évidente - de sa justesse. Solutions (pdf) Retour au haut de page

 

32. La vanne  ** Un ami vous a prêté sa maison de campagne. Il vous dit : « J’ai arrêté l’eau pendant l’hiver, mais tu trouveras à la cave trois vannes (A, B et C), côte à côte. Une seule alimente les pièces de la maison, je ne sais plus laquelle. » Comment devez-vous vous y prendre pour savoir quelle est la vanne d’alimentation d’eau en ne passant qu’une seule fois à la cave ? (Ce n’est pas une devinette mais une affaire de logique) Solution (pdf) Retour au haut de page

 

33. Tour de magie dérivé de Fibonacci **  *** Le numéro 2 de cette rubrique nous a permis de découvrir les suites de Fibonacci. Rappelons comment est construite une telle suite. Au départ, deux nombres sont donnés. Ensuite, chacun des nombres suivants est la somme des deux nombres qui le précèdent directement. Nous avions trouvé au numéro 2 la suite suivante : 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, etc. Les deux premiers nombres (1 et 1) ont engendré 2 (1 + 1), puis 3 (1 + 2), puis 5 (2 + 3), puis 8 (3 + 5), etc. Cette suite peut être prolongée à l’infini. a) Déterminez les 10 premiers nombres de la suite de Fibonacci dont les deux premiers sont 2 et 5. Calculez ensuite la somme de ces 10 nombres. b) Déterminez les 10 premiers nombres de la suite de Fibonacci dont les deux premiers sont 3 et 8. Calculez ensuite la somme de ces 10 nombres. c) La somme des 10 premiers nombres d’une suite de Fibonacci est le produit du 7ème nombre par un nombre que l’on va appeler x. Quel est ce nombre x ? d) Ce nombre x est constant quelle que soit la suite de Fibonacci. Donnez-en la preuve. e) Le fait de savoir que le produit du 7ème nombre de la suite par x donne la somme des 10 premiers nombres peut conduire à un tour de magie épatant. Imaginez ce tour. Solutions (pdf) Retour au haut de page

 

34. Les boules  **  *** **** Voici un grand classique des énigmes mathématiques. Il s’agit de repérer, parmi un certain nombre de boules qui paraissent identiques, celle qui diffère de toutes les autres par une masse légèrement différente. On ne sait pas si elle est plus légère ou plus lourde que les autres. Il faut être capable de le dire. Pour résoudre ce problème, on ne dispose que d’une balance double, dite de Roberval, et le but est de l’utiliser qu’un minimum de fois par une méthode qui fonctionne toujours. Dans les trois premiers exercices ci-dessous, trouvez la méthode qui permet de repérer la boule différente, de dire si elle est plus lourde ou plus légère que les autres, et d’indiquer le nombre minimum de fois qu’est utilisée la balance double, dans le pire des cas. Pour le quatrième exercice (120 boules), déterminez seulement le nombre de fois qu’il faut utiliser, au minimum, la balance double pour repérer la boule différente, et pour dire si elle est plus lourde ou plus légère que les autres. 1. La boule différente se trouve parmi 3 boules. 2. La boule différente se trouve parmi 4 boules. 3. La boule différente se trouve parmi 12 boules.  4. La boule différente se trouve parmi 120 boules. Solutions (pdf) Retour au haut de page

 

35. Les tours de  Hanoi  *  **  *** (Ce problème a été inventé par Edouard Lucas au 19e siècle) Demandez à un menuisier de vous fabriquer l'objet ci-dessus fait d'une planchette, de trois tiges et de quelques disques, tous de différentes grandeurs. Au départ, les disques doivent être enfilés sur une seule tige, du plus grand au plus petit. Le jeu consiste ensuite à déplacer tous les disques sur une des deux autres tiges, en respectant les règles suivantes : 1. On ne peut déplacer qu’un disque à la fois. 2. On ne peut poser un disque que sur un disque plus grand ou sur un emplacement vide. Chaque déplacement d’un disque constitue un coup. Le but est de déplacer tous les disques en un minimum de coups. a) Au départ, il y a 3 disques sur une tige. Combien faut-il de coups, au minimum, pour les déplacer sur une autre tige ? b) Au départ, il y a 5 disques sur une tige. Combien faut-il de coups, au minimum, pour les déplacer sur une autre tige ? c) Au départ, il y a 8 disques sur une tige. Combien faut-il de coups, au minimum, pour les déplacer sur une autre tige ? d) Trouvez une technique qui permet de déplacer rapidement les disques en un minimum de coups. Solutions (pdf) Retour au haut de page

 

36. Le nombre de carrés  *   **    *** Vous trouverez ici une technique très pratique et peu connue permettant de savoir si la relation liant deux ensembles peut être une fonction polynomiale et, si c’est le cas, de la trouver. Toutes les figures suivantes sont faites de carrés juxtaposés. La figure suivante compte 8 carrés. En effet, en plus des 6 petits carrés, il y a le carré formé des 4 petits carrés de gauche et le carré composé des 4 petits carrés de droite. a) La figure suivante est faite de 16 petits carrés. Mais, combien compte-t-elle de carrés en tout  ? b) Un échiquier, espace sur lequel on joue aux échecs, est fait de 64 cases carrées. Combien y a-t-il de carrés sur cet échiquier ? c) Supposons que l’on ait un échiquier de 100 cases par 100 cases, donc fait de 10'000 cases carrées. Combien y aurait-il de carrés sur cet échiquier ? Solutions (pdf) Retour au haut de page

 

37. Les aires  **   ***  **** a) Dans le croquis ci-dessous, on donne les mesures des côtés AB et BC ainsi que l’aire du triangle BCD. Quelle est l’aire x du triangle ABD ? b) Dans le croquis ci-dessous, chaque nombre représente, en m2, l’aire du petit triangle dans lequel il se trouve. Quelle est l’aire totale de la figure ? c) Dans le croquis ci-dessous, chaque nombre représente, en m2, l’aire du petit triangle dans lequel il se trouve. Quelle est l’aire totale de la figure ? Solutions (pdf) Retour au haut de page

 

38. La cible *  **  *** Voici un grand classique des compétitions de jeux mathématiques et logiques qui peut se décliner sous plein d'autres formes. Marc joue avec un nombre illimité de fléchettes en visant une cible qui comporte différentes zones rapportant chacune un certain nombre de points qui s’additionnent chaque fois qu’une fléchette atteint l’une des zones. Certains scores (somme des points obtenus) sont impossibles à atteindre. Le problème consiste à déterminer le nombre de scores impossibles à atteindre ainsi que le plus grand total impossible à atteindre. 1. Dans un premier temps, les cibles ne comportent que deux zones et rapportent : a) 3 et 7 points. b) 4 et 6 points. c) 4 et 9 points. d) 9 et 12 points. e) 7 et 30 points. 2. Voyons deux cas avec trois zones (ne cherchez que le plus grand score impossible à atteindre) : a) 14, 21 et 30 points. C'est l'exercice 14 du 16 novembre 2011 (voir rubrique B de ce site) b) 5, 9 et 11 points. Solutions (pdf) Retour au haut de page

 

39. Les modulos  *  ** *** a) Quel est le reste de la division de 19 par 4 ? b) Quel est le reste de la division de 51 par 4 ? c) Quel est le reste de la division de 403 par 4 ? d) Quel est le reste de la division de 4499 par 4 ? e) Quel est le reste de la division de 1'827'155 par 4 ? f) Quelle remarque pouvez-vous faire en comparant les solutions de tous les exercices précédents ? Avant d’aller plus loin, regardez les solutions des exercices effectués jusqu’ici et la partie théorique qui suit ces solutions. g) Calculez 19 (mod 9), puis 20 (mod 7), puis 30 (mod 6), puis 53 (mod 8). h) Les modulos 9 sont souvent utiles. Trouvez une technique pour calculer le plus rapidement possible 2'835'967'345 (mod 9). i) La preuve par 9 pour les multiplications découle des propriétés mathématiques des modulos. Utilisez-la pour les trois multiplications suivantes : 1) 48 x 7 = 346. 2) 375 x 91 = 34'125. 3) 3872 x  584 = 2'251'348. j) Le 1er septembre 2014 était un lundi. Quel jour de la semaine était le 1 janvier 2016 ? k) Neuf chiffres, tous différents, ont été utilisés pour écrire deux nombres entiers dont la somme est égale à 26'868. Quel chiffre n’a pas été employé pour écrire ces deux nombres ?  Solutions (pdf) Retour au haut de page

 

40. Espérance de vie  **  *** L'espérance de vie humaine d’une population est calculée à partir de nombreuses données statistiques reflétant la situation au cours d’une année précise que nous allons appeler l’an x. L’âge moyen et l’espérance de vie (deux notions différentes quoique apparentées, comme on le verra plus loin) d’une population en l’an x (ni avant, ni après l’an x) sont calculées à partir de ces données. L’espérance de vie des habitants d’un pays calculée en l’an x va permettre de déterminer l’âge auquel les habitants de ce même pays peuvent espérer vivre après l’an x, si les conditions de vie de l’an x se maintiennent. L’espérance de vie mesure l'état de santé d'une population. Elle est très variable d'un pays à l'autre : de moins de 50 ans dans les pays en voie de développement jusqu'à 80 ans et plus dans les pays développés. Elle est liée à de nombreux facteurs sociaux, sanitaires, comportementaux qui diffèrent d'un pays à l'autre. Sa tendance générale est une augmentation globale et régulière, mais elle pourrait baisser si les conditions de vie venaient à se dégrader. Dans les pays souffrant d’un fort taux de mortalité enfantine, l'espérance de vie à la naissance est moins élevée et ne reflète donc pas nécessairement l'espérance de vie d'une personne ayant survécu à sa première année. Dans la quasi-totalité des pays, l'espérance de vie des femmes est plus importante que celle des hommes. L’espérance de vie n’a rien à voir avec la longévité que peuvent atteindre certaines personnes. En Suisse, chez les femmes, l’espérance de vie était de 84,7 ans en 2012, alors qu’elle était d’environ 45 ans en 1900. Vers 1900, il y avait déjà des centenaires, certes peu nombreux en comparaison avec aujourd’hui. En 2010, la doyenne de Suisse s’est éteinte à 113 ans. Pour trouver l’espérance de vie d’une population en l’an x, cela nécessite beaucoup de calculs dans les domaines des statistiques et des probabilités, effectués à l’aide d’ordinateurs. Nous n’aborderons ici qu’une toute petite partie de ces calculs. Etant donné l’utilisation de symboles que je n’arrive pas à traduire sur ma page web, cet exercice est repris ici (pdf). Solutions (pdf) Retour au haut de page

 

41. Les bases  *  **  *** Les nombres que nous utilisons tous les jours sont, à part de rares exceptions (notamment en informatique et en électronique), codés en base dix. Dans 8324, on a 8 milliers, 3 centaines, 2 dizaines et 4 unités. Ce système de représentation, dit décimal, utilise 10 chiffres (0 à 9) et est très ancien. Il découle du fait que nos deux mains comptent dix doigts. Dans la colonne de gauche du tableau ci-dessous, nous avons les 20 premiers nombres entiers écrits en base 10. Dans la 2ème colonne (base 8), les nombres de la première colonne sont écrits en base 8. Pour les obtenir, on s’est contenté d’écrire les nombres en base 10, dans l’ordre croissant, mais en éliminant les nombres qui ont des 8 et/ou des 9, car en base 8, seuls les chiffres de 0 à 7 sont admis. En base 5, seuls les chiffres de 0 à 4 peuvent être utilisés. En base 3, seuls les chiffres de 0 à 2 peuvent être utilisés. Etc. a) Complétez le tableau en transformant les nombres de la première colonne (base 10) en base 5, puis en en base 3 et enfin en base 2. Utilisez la méthode vue ci-dessus qui indique comment passer de la base 10 à la base 8. Si vous avez complété correctement le tableau, vous constaterez que 20 en base 10 correspond à 24 en base 8, à 40 en base 5, à 202 en base 3 et à 10100 en base 2. C’est la manière la plus simple pour transformer des nombres de la base 10 en des nombres d’autres bases. Cette façon de procéder n’est pas pratique lorsque les nombres à transformer deviennent plus grands. Avant d’aller plus loin, rappelons que le nombre 8324 (base 10) est égale à 8 x 1000 + 3 x 100 + 2 x 10 + 4 x 1 = 8 x 103 + 3 x 102 + 2 x 101 + 4 x 101 = 8000 + 300 + 20 + 4. Le même principe est appliqué pour toutes les bases. Supposons que l’on souhaite transformer le nombre 1983 (base 10) en base 5. On commence par calculer un certain nombre de puissances de 5. 50 = 1            51 = 5            52 = 25            53 = 125           54 = 625          54 = 3125 Comme 55 > 1983, alors 1983 = a x 54 + b x 53 + c x 52 + d x 51 + e x 50 et le nombre cherché est abcde. 1983 : 625 = 3 (a = 3), avec un reste de 108. 108 : 125 = 0 (b = 0), avec un reste de 108. 108 : 25 = 4 (c = 4), avec un reste de 8. 8 : 5 = 1 (d = 1), avec un reste de 3. 3 : 1 = 3 (e = 3). Il n’y a plus de reste. Alors, 1983 = 3 x 54 + 0 x 53 + 4 x 52 + 1 x 51 + 3 x 50= 3 x 625 + 0 x 125 + 4 x 25 + 1 x  5 + 3 x 1. Ainsi, 1983 (base 10) correspond à 30413 (base 5). b) Transformez 2591 (base 10) en base 8. c) Transformez 61 (base 10) en base 2. Solutions (pdf) Retour au haut de page

 

42. Les coupes du menuisier *  **  *** Un menuisier veut découper des morceaux de bois ayant la forme de parallélépipèdes rectangles en des cubes de 1 dm3 . Après chaque coupe, il peut déplacer les morceaux obtenus et les disposer comme il veut. Les morceaux ne peuvent pas être déplacés pendant une coupe. Il cherche à faire le minimum de coupes possible. 1. Son 1er morceau de bois a les dimensions suivantes : 1 dm, 2 dm et 2 dm. Combien de coupes doit-il faire ? 2. Son 2ème morceau de bois a les dimensions suivantes : 2 dm, 2 dm et 3 dm. Combien de coupes doit-il faire ? 3. Son 3ème morceau de bois est un cube de 3 dm de côté. Combien de coupes doit-il faire ? 4. Son 4ème morceau de bois a les dimensions suivantes : 3 dm, 3 dm et 10 dm. Combien de coupes doit-il faire ? 5. Son 5ème morceau de bois a les dimensions suivantes : 10 dm, 17 dm et 35 dm. Combien de coupes doit-il faire ? 6. Trouvez une méthode qui permet de trouver rapidement le nombre de coupes quelles que soient les dimensions du morceau de bois au départ. Solutions (pdf) Retour au haut de page

 

43. L'araignée et la mouche **  *** Voici le croquis d’un parallélépipède rectangle à base carrée : Le point A est au centre de la face de gauche, à 7 mm du bas. Le point M est au centre de la face de droite, à 7 mm du haut. Une araignée se trouve au point A et veut rejoindre une mouche au point M, par le plus court chemin, en marchant sur le verre. 1. Combien mesure ce plus court chemin ? Regardez la suite si vous n'êtes pas arrivés à trouver la mesure du plus court chemin. 2. Par définition, le développement (ou patron) d’un solide est la représentation de toutes les faces du solide dans un même plan, de telle sorte que chaque face soit reliée à au moins une autre par une arête commune et que toutes les faces soient ainsi reliées entre elles. Le développement d’une sphère n’est pas possible. Le développement peut être fait à diverses échelles et de plusieurs manières. Dessinez le développement de la boîte donnée des trois manières suivantes, en vraie grandeur (échelle 1:1). Placez ensuite sur les trois développements les points A et M. Puis calculez la distance de A à M dans les trois cas. Vous devriez alors pouvoir trouver la mesure du plus court chemin de l'araignée. Solutions (pdf) Retour au haut de page

 

44. Le parking  * Solution (pdf) Retour au haut de page

 

45. Le tour de cartes *** Ce jeu peut constituer un joli tour de magie. Considérons un jeu traditionnel de 36 cartes dont les points sont donnés dans le tableau ci-dessous. Ainsi, dans ce jeu, les quatre Valets valent 2 points, les quatre Dames 3 points, les quatre Rois 4 points, les quatre six 6 points, etc. Cartes Valets Dames Rois 6 7 8 9 10 As Points 2 3 4 6 7 8 9 10 11 Le jeu consiste, après avoir mélangé les cartes, de prendre les cartes les unes après les autres pour en faire un certain nombre de tas de la manière suivante : On pose une carte (carte a) et on complète ce premier tas par autant de cartes nécessaires pour aller jusqu’à 11. Si a = 8, On ajoute 3 cartes sur ce 8. Si a = As, on n’ajoute aucune carte sur cet as. Si a = Valet, on ajoute 9 cartes sur ce Valet. On a ainsi un premier tas de cartes. On fait un 2ème tas en posant une carte (carte b) et on complète ce 2ème tas par autant de cartes nécessaires pour aller jusqu’à 11. On obtient un 2ème tas de cartes. On fait un 3ème tas en posant une carte (carte c) et on complète ce 3ème tas par autant de cartes nécessaires pour aller jusqu’à 11. On obtient un 3ème tas de cartes. On continue toujours ainsi. A un certain moment, en posant une énième carte, on n’arrive plus à aller jusqu’à 11. Ce groupe de cartes ne constitue plus un tas complet. On l’appelle « Reste ». Voyons un exemple complet : La première carte (carte a) est une Dame (3 points). Il faut rajouter 8 cartes dans ce premier tas qui va compter 9 cartes. La première carte du tas suivant (carte b) est un 9. Il faut rajouter 2 cartes dans ce 2ème tas qui va compter 3 cartes. 12 cartes ont été posées jusqu’à présent (9 + 3). La première carte du tas suivant (carte c) est un Roi (4 points). Il faut rajouter 7 cartes dans ce 3ème tas qui va compter 8 cartes. 20 cartes ont été posées jusqu’à présent (9 + 3 + 8). La première carte du tas suivant (carte d) est un As (11 points). On n’ajoute aucune carte dans ce 4ème tas. 21 cartes ont été posées jusqu’à présent (9 + 3 + 8 +1). La première carte du tas suivant (carte e) est une Dame (3 points). Il faut rajouter 8 cartes dans ce 5ème tas qui va compter 9 cartes. 30 cartes ont été posées jusqu’à présent (9 + 3 + 8 + 1 + 9). La première carte du tas suivant est un valet (2 points). Il n’y a plus assez de cartes pour arriver jusqu’à 11 puisqu’il nous en restait 6 après le 5ème tas. On dit alors que le Reste est égal à 6 et on ne considère pas ce Reste comme un tas. Bilan : on a réalisé 5 tas et on a un Reste de 6. Faisons la somme des premières cartes des 5 tas (a + b + c + d + e) : 3 + 9 + 4 + 11 + 3 = 30 C’est ici que les choses deviennent intéressantes. Connaissant le nombre de tas réalisés et le Reste, il est possible de connaître la somme des points des premières cartes des tas, sans avoir vu poser les cartes par un partenaire à qui on a expliqué le jeu. Si donc notre partenaire nous dit « 5 tas et 6 cartes restantes », on est capable de dire que la somme des points des premières cartes de chaque tas est 30. Comment deviner la somme des premières cartes de tous les tas, quels que soient le nombre de tas et le nombre de cartes restantes ? Solutions (pdf) Retour au haut de page

 

46. Objectif 2015  ** On souhaite atteindre 2015, à partir de 1, en n’utilisant que trois opérations : ajouter 1 ou ajouter 2 ou multiplier par 3. Chaque opération constitue une étape. Combien d’étapes faut-il, au minimum, pour atteindre 2015 ? Solution (pdf) Retour au haut de page

 

47. Le morpion *  ** Deux joueurs, Albert et Benoît, doivent marquer, à tour de rôle, une case de la grille suivante par un signe qui leur est propre. Par exemple, Albert marque des A et Benoît des B. Le premier qui aligne horizontalement ou verticalement ou en diagonale trois de ses signes a gagné. Existe-t-il une tactique gagnante pour celui qui commence à jouer ? Solution (pdf) Retour au haut de page

 

48. Le chrono  *  ** Agnès souhaite fait un test sur une piste d’athlétisme. Elle aimerait connaître la distance maximale qu’elle est capable de courir d’affilée pendant 10 minutes. Sa grande sœur Agatha doit la chronométrer. Comment va-t-elle s’y prendre sachant qu’elle ne dispose que de deux sabliers, l’un de 4 minutes (petit sablier) et l’autre de 9 minutes (grand sablier), et qu'elle souhaite faire un minimum de manipulations possible ?          Solution (pdf) Retour au haut de page

 

49. Un tour de magie  *  ** Demandez à un ami d’écrire un nombre entier positif de trois chiffres, sans que vous puissiez avoir connaissance de ce nombre. Demandez-lui de vous donner le premier et le dernier chiffre du nombre qu’il a écrit, dans l’ordre qu’il souhaite. Expliquez à votre ami que, par convention, le « retourné » du nombre abc est cba. Par exemple, le « retourné » de 439 est 934. Demandez à votre ami d’écrire le «retourné » de son nombre, toujours sans que vous puissiez avoir connaissance de ce qu’il écrit. Demandez-lui de soustraire le plus petit des deux nombres du plus grand. A ce moment-là, comme par magie, vous lui donnez le résultat de cette soustraction. Comment avez-vous fait ? Solution (pdf) Retour au haut de page

 

50. Médor poursuit son maître  ***** L’énigme suivante est tirée d’un problème du génial Sam Loyd qui vécut de 1841 à 1911 et qui est considéré comme le plus grand inventeur américain de divertissements mathématiques. J’y ai apporté quelques modifications dans les mesures afin que les calculs soient un peu plus simples. N’étant pas capable de résoudre ce problème, j’ai fait appel à mes amis Gérard Charrière et Alain Rossier, experts en mathématiques. Loyd propose une méthode étrange de résolution qui aboutit au même résultat que Charrière et Rossier. A la question de savoir pourquoi la méthode de Loyd fonctionne, GM m'a fait parvenir en octobre 2018 une explication donnée plus bas. Le chien Médor est au point M, à 102,60 m de Bill, son maître, qui est au point B. Médor et Bill partent en même temps. Le chien va deux fois plus vite que son maître. Bill court en direction de C (BC est perpendiculaire à BM) et Médor court toujours en direction de son maître. Quelle distance doit parcourir Médor pour rattraper son maître ? Solutions (pdf) selon la méthode de Loyd et celle de Charrière Solution (pdf) d'Alain Rossier Solution (pdf) de GM Retour au haut de page

 

51. Les jetons   ** Vous êtes assis à une table et on vous a bandé les yeux. Quelqu’un vous dit alors ceci : « Sur la table, j’ai posé aléatoirement 17 jetons qui ont la particularité d’être noirs d’un côté et blancs de l’autre. Sept jetons ont leur face noire visible et dix présentent leur face blanche. » Vous devez maintenant, sans enlever le bandeau, faire deux tas avec ces 17 jetons, de manière à ce que les deux tas présentent chacun le même nombre de jetons noirs. Vous avez le droit, bien sûr, de retourner des jetons. Comment allez-vous faire ? Solution (pdf) Retour au haut de page

 

52. Les puissances  *  ** 52 = 25, alors 25 est un carré. 43 = 64, alors 64 est un cube. 34 = 81, alors 81 est une puissance quatrième. 65 = 7776, alors 7776 est une puissance cinquième. Etc. L’utilisation d’une calculatrice est recommandée pour les exercices suivants dans lesquels ne peuvent intervenir que des nombres entiers positifs. 1. Le nombre 729 est-il à la fois un carré et un cube ? Si oui, de quel nombre est-il le carré et de quel nombre est-il le cube ? 2. Le nombre 4096 est-il à la fois un carré et un cube ? Si oui, de quel nombre est-il le carré et de quel nombre est-il le cube ? 3. L’affirmation suivante « Tous les nombres qui sont à la fois un carré et un cube sont des puissances sixièmes » est vraie. Vérifiez cette affirmation en cherchant d’abord les trois nombres inférieurs à 1000 qui sont à la fois des carrés et des cubes. 4. Le nombre 1024 est-il à la fois un carré et une puissance cinquième ? Si oui, de quel nombre est-il le carré et de quel nombre est-il la puissance cinquième ? 5. L’affirmation suivante « Tous les nombres qui sont des puissances dixièmes sont aussi des carrés et des puissances cinquièmes » est vraie. Vérifiez cette affirmation avec les nombres 1024 = 210 et 59'049 = 310. 6. De quelles autres puissances inférieures à 12 sont tous les nombres qui sont des puissances douzièmes ? Vérifiez vos réponses avec les nombres 531'441 = 312 et 16'777'216 = 412. 7. De quelles autres puissances inférieures à n (nombre entier positif) sont tous les nombres qui sont des puissances énièmes ? Solutions (pdf) Retour au haut de page

 

53. Les rocades  **  *** Une rocade circulaire est est une route dont le tracé forme un cercle. 1. Les maires des trois villes M, N et P souhaitent faire construire une rocade circulaire passant par leurs trois villes. Dessinez la rocade circulaire. 2. Les maires des quatre villes A, B, C et D souhaitent faire construire une rocade circulaire passant par leurs quatre villes. Ils s’aperçoivent rapidement que ce n’est pas possible. Ils demandent alors à un bureau d’études de tracer une rocade circulaire passant à égale distance de chacune des villes. Dessinez cette rocade circulaire. Peut-il y avoir plusieurs possibilités ? Si oui, combien y en a-t-il, au maximum, et comment les déterminer toutes. La donnée avec position des villes, c'est ici (pdf) Solutions (pdf) Retour au haut de page

 

54. Les mèches  ** Vous ne disposez que de deux mèches et d’un briquet. Les mèches n’ont pas la même longueur, se consument chacune en 1 minute, mais de façon irrégulière. Par exemple, la moitié de la première mèche pourrait se consumer en 23 secondes et la moitié de l’autre en 32 secondes. Comment mesurer exactement 45 secondes ? Solution (pdf) Retour au haut de page

 

55. Les nombres cachés  * ** *** Albert et Benoît jouent avec les nombres naturels positifs (1, 2, 3, 4, 5, 6, etc.). Albert choisit un nombre naturel appelé nombre caché. Benoît veut le découvrir en annonçant un premier nombre. Albert ne peut répondre que par « Trop grand » ou « Trop petit » ou « Juste ». Si le premier nombre proposé par Benoît n’est pas juste, il en annoncera un 2ème et Albert répondra toujours par « Trop grand » ou « Trop petit » ou « Juste ». Et ainsi de suite, jusqu’à ce que Benoît trouve le nombre caché. Le but est de découvrir le nombre caché en annonçant un minimum de nombres. Chaque nombre annoncé par Benoît correspond à un coup. a) Albert dit à Benoît que le nombre caché est inférieur à 5. De combien de coups, au minimum, Benoît a-t-il besoin pour découvrir à coup sûr le nombre caché ? b) Albert dit à Benoît que le nombre caché est inférieur à 7. De combien de coups, au minimum, Benoît a-t-il besoin pour découvrir à coup sûr le nombre caché ? c) Albert dit à Benoît que le nombre caché est inférieur à 9. De combien de coups, au minimum, Benoît a-t-il besoin pour découvrir à coup sûr le nombre caché ? d) Albert dit à Benoît que le nombre caché est inférieur à 16. De combien de coups, au minimum, Benoît a-t-il besoin pour découvrir à coup sûr le nombre caché ? e) Albert dit à Benoît que le nombre caché est inférieur à 32. De combien de coups, au minimum, Benoît a-t-il besoin pour découvrir à coup sûr le nombre caché ? f) Albert dit à Benoît que le nombre caché est inférieur à n. De combien de coups, au minimum, Benoît a-t-il besoin pour découvrir à coup sûr le nombre caché ? Solutions (pdf) Retour au haut de page

 

56. Les chapeaux  *** Trois sœurs, Anna, Berthe et Claudine ont été averties que dans une pièce voisine sans la moindre lumière, il y a trois chapeaux noirs et deux chapeaux rouges. Claudine est aveugle, mais a une excellente mémoire et est bonne en logique. Elles sont ensuite conduites dans cette pièce et chacune d’elles prend un chapeau au hasard, sans le voir, et le met sur sa tête. Les deux chapeaux restants sont retirés de la pièce. On allume maintenant la lumière. Il s’échange alors le dialogue suivant : Anna : « Je n’arrive pas à savoir la couleur de mon chapeau. » Berthe : « Moi non plus. » Claudine : « Alors moi, je connais la couleur de mon chapeau. » Comment Claudine peut-elle connaître la couleur de son chapeau ? Quelle est la couleur de son chapeau ? Solution (pdf) Retour au haut de page

 

57. Le coloriage ** Valentine veut colorier les 25 cases du quadrillage suivant. Elle ne souhaite jamais utiliser la même couleur sur une même colonne ou sur une même ligne ou encore sur une même diagonale. Combien de couleurs différentes doit-elle utiliser, au minimum ? Solution (pdf) Retour au haut de page

 

58. Théorème de Viviani ** Le triangle ABC donné dans le croquis suivant est équilatéral. Appelons x son côté, et h sa hauteur. La distance du point O aux trois côtés du triangle est respectivement a, b et c. a) Calculez l’aire du triangle ABC, à partir de l’aire de chacun des triangles ABO, BCO et ACO. b) Calculez l’aire du triangle ABC, à partir de x et h. c) Que pouvez-vous déduire des résultats obtenus aux points a et b ? Solutions (pdf) Retour au haut de page

 

59. Le marathon ** Pour préparer un marathon, Lucien a couru deux heures d’affilée ce matin, en partant de chez lui à 9 heures. Il a couru sur un terrain vallonné, équipé d’un appareil capable de lui fournir ensuite une foule d’informations (fréquence cardiaque, distance parcourue, temps de course, vitesse, etc.). A son retour, il remarque que sa vitesse fut très variable et qu’il a atteint une seule fois les 15 km/heure, pile à 10 heures. Pendant son entraînement, entre 9 heures et 11 heures (bornes non comprises), y a-t-il eu au moins un instant où la vitesse de Lucien était exactement la même qu’une heure auparavant (on suppose que l’appareil indique les vitesses en continu) ? Solution (pdf) Retour au haut de page

 

60. La porte du Paradis * ** Vous êtes face à deux portes (A et B) dont l'une ouvre sur l'Enfer et l'autre sur le Paradis. Vous ne savez pas laquelle mène au Paradis, et laquelle conduit à l'Enfer. Un garde est posté devant chacune des portes. Chaque garde sait parfaitement où conduisent les portes. Vous savez que l’un des gardes ment toujours et que l’autre dit toujours la vérité. Les gardes connaissent aussi cette particularité qui les concerne. Pour reconnaître la porte du Paradis, vous avec le droit de poser une seule question, à un seul des deux gardes. Quelle question vous permettra à coup sûr d’ouvrir la porte du Paradis ? Selon la réponse à cette question, quelle porte faut-il choisir ? Pour vous aider à résoudre cette énigme, posez-vous les questions suivantes : 1. Quels sont les cas possibles concernant les portes, l’Enfer et le Paradis, et les gardes ? 2. A la question « Quelle est la porte du Paradis ? », que répondent les gardes ? 3. A la question « Quelle serait la réponse de l’autre garde si je lui demande quelle est la porte du Paradis ? », que répondent les gardes ? Solutions (pdf) Retour au haut de page

 

61. Les droites ** *** Guy a dessiné n droites dans un plan. Deux d’entre elles ne sont jamais parallèles et trois d’entre elles ne sont jamais concourantes (elles ne se croisent jamais en un point unique). Ces droites divisent le plan en un certain nombre de régions distinctes. Combien de régions va-t-il obtenir si : a) n = 2    b) n = 3    c) n = 4    d) n = 5   e) n =14   f) n = 100 Solutions (pdf) Retour au haut de page

 

62. Les ascenseurs ** Un grand magasin comporte sept étages numérotés de 1 à 7. Le propriétaire a fait installer un minimum d’ascenseurs qui ont tous la particularité de ne desservir que trois étages. Il a exigé également que, de chaque étage, il soit possible d’atteindre n’importe quel autre étage en n’utilisant qu’un seul ascenseur. Combien y a-t-il d’ascenseurs dans ce magasin ? Sur chaque ascenseur, il y a une plaque indiquant les étages atteignables. Par exemple, la plaque « 136 » indique que vous pouvez atteindre les étages 3 et 6, depuis le 1er étage, les étages 1 et 6, depuis le 3ème étage, et les étages 1 et 3, depuis le 6ème étage. Donnez une configuration possible des plaques de chaque ascenseur. Solutions (pdf) Retour au haut de page

 

63. Les transvasements * **  *** 1. Comment faire pour rapporter d’une rivière exactement 1 litre d’eau, si l’on dispose, pour en mesurer la quantité, de seulement deux seaux non gradués, l’un de 2 litres et l’autre de 3 litres ? 2. Comment faire pour rapporter d’une rivière exactement 5 litres d’eau, si l’on dispose, pour en mesurer la quantité, de seulement deux seaux non gradués, l’un de 4 litres et l’autre de 3 litres ? 3. Comment faire pour rapporter d’une rivière exactement 3 litres d’eau, si l’on dispose, pour en mesurer la quantité, de seulement deux seaux non gradués, l’un de 4 litres et l’autre de 6 litres ? 4. Les trois seaux de Joël ne sont pas gradués. L’un est rempli à ras bord et il contient 8 litres d’eau. Les deux autres peuvent contenir, au maximum, l’un 5 litres et l’autre 3 litres. Combien de transvasements, au minimum, devra-t-il faire pour obtenir 4 litres dans un des seaux et 4 litres dans un autre ? (on considère qu’il y a transvasement chaque fois que l’on verse de l’eau d’un récipient dans un autre) 5. Un marchand d’huile doit aller livrer une quantité d’huile comprise, en nombres entiers de litres, entre 1 et 12 litres, mais qu’il ne connaît pas à l’avance. Il ne prend avec lui que trois urnes non graduées, l’une de 7 litres qui est vide, une autre de 8 litres qui est aussi vide et la dernière de 12 litres qui est pleine d’huile. Quelles quantités d’huile ne sera-t-il pas capable de livrer avec exactitude ? Solutions (pdf) Retour au haut de page

 

64. Le petit taquin * ** Le taquin est un jeu bien connu créé aux Etats-Unis vers 1870 et qui se joue tout seul. Sam Loyd (1841-1911), considéré comme le plus grand inventeur américain de divertissements mathématiques, a rendu populaire ce jeu. Le taquin est composé de 15 pièces numérotées de 1 à 15 glissant dans un cadre prévu pour 16 pièces. Le jeu consiste à passer d’une configuration donnée à une autre en déplaçant les pièces, verticalement ou horizontalement, sur la case vide. Le passage d’une configuration à une autre n’est pas toujours possible. Au lieu de jouer avec un taquin habituel de 16 cases, nous allons le faire ici avec ce que j’appelle un petit taquin constitué de 9 cases. Pour commencer, construisez un petit taquin en dessinant un carré de 9 cm de côté, à l’intérieur duquel vous dessinez 9 carrés de 3 cm de côté. Fabriquez ensuite 8 petits carrés cartonnés de 2 cm de côté (ce sont les pièces du jeu). Numérotez-les de 1 à 8 1. En respectant les règles tu taquin, est-il possible de passer de la configuration de gauche à celle de droite ? 2. Voici une méthode permettant de déterminer, sans manipuler les pièces, si on peut passer d’une configuration à une autre. Cette méthode exige au préalable de répondre à deux questions illustrées par l’exemple ci-dessous où la case vide est symboliquement remplacée par une pièce nommée V. Première question : De combien de cases doit se déplacer V pour passer de la configuration de départ à celle d'arrivée ? Pour répondre à cette question, il faut faire comme si V est une vraie pièce, seule sur le jeu, pouvant donc se déplacer librement. Dans notre exemple, V doit, au minimum, se déplacer de 3 cases (une possibilité est de descendre d’une case et d’avancer de deux cases vers la droite) pour atteindre son emplacement final. Il existe une infinité d’autres possibilités pour V d’atteindre sa position finale (V pourrait notamment passer plusieurs fois sur une même case), représentées toutes par un déplacement d’un nombre impair de cases. Seconde question : Combien faut-il faire d’échanges entre deux pièces pour passer de la configuration de départ à celle d’arrivée ? Ici, il faut oublier les règles du taquin. Nous avons maintenant le droit d’échanger les pièces les unes par-dessus les autres. Ainsi, on peut arriver à la position finale en faisant 3 échanges de pièces : on échange V avec 5, puis 4 avec 5 et 7 avec 8. Ici encore, il existe une infinité d’autres possibilités, toutes comptant un nombre impair d’échanges de pièces. Reprenez maintenant les trois exercices du point 1, et répondez pour chaque cas (a, b et c) aux deux questions soulignées. Les réponses à ces questions permettent de dire s’il est possible de passer d’une certaine configuration à une autre. Essayez d’en découvrir la règle. Solutions (pdf) Retour au haut de page

 

65. Les derniers chiffres d'un produit *  **  *** **** Le but de cet exercice revient à trouver les derniers chiffres d’un produit de deux nombres entiers positifs. Pour répondre aux questions suivantes, les seuls outils pouvant être utilisés sont une feuille de papier et de quoi écrire (les calculatrices et autres outils informatiques sont donc interdits). Pour les exercices allant de a à e, si votre réponse est non, donnez un exemple qui montre que vous avez raison. Lorsque l’on demande le nombre formé par les derniers chiffres d’un nombre, il faut prendre les chiffres dans l’ordre où ils apparaissent, de gauche à droite. Exemple : le nombre formé par les deux derniers chiffres de 75'432 est 32 (et non pas 23). a) Sachant que 8 x 3 = 24, peut-on conclure que tous les produits de deux nombres dont l’un se termine par 8 et l’autre par 3 finissent par 4 ? b) Sachant que 27 x  34 = 918, peut-on conclure que tous les produits de deux nombres dont l’un se termine par 27 et l’autre par 34 finissent par 18 ? c) Sachant que 85 x  6 = 510, peut-on conclure que tous les produits de deux nombres dont l’un se termine par 85 et l’autre par 6 finissent par 10 ? d) Sachant que 4534 x 242 = 1'097'228, peut-on conclure que tous les produits de deux nombres dont l’un se termine par 242 et l’autre par 534 finissent par 228 ? e) Sachant que 4534 x 242 = 1'097'228, peut-on conclure que tous les produits de deux nombres dont l’un se termine par 242 et l’autre par 34 finissent par 228 ? f) Les exercices précédents vous ont certainement permis de déterminer quelques règles concernant les derniers chiffres d’un produit de deux nombres. Enoncez-les de manière la plus simple possible. g) Quel est le nombre formé par les deux derniers chiffres du produit de 2567 x 327'152 ? h) Quel est le nombre formé par les trois derniers chiffres du produit de 1969 x 40'878 ? i) Quel est le dernier chiffre de 360 ? j) Quel est le nombre formé par les deux derniers chiffres de 360 ? k) Quel est le nombre formé par les trois derniers chiffres de 360 ? Solutions (pdf) Retour au haut de page

 

66. Les bouteilles * ** *** **** Une entreprise souhaite fabriquer des bouteilles en verre qui soient très solides. Elle en est au stade expérimental et a fabriqué divers prototypes (A, B, C, D, E, F et G) qu’elle veut faire tester. Pour chaque prototype, elle a réalisé deux bouteilles parfaitement identiques du point de vue solidité. Des personnes vont être chargées de tester les différents prototypes en recevant exactement deux bouteilles du prototype à tester. Elles doivent déterminer à partir de quelle hauteur la bouteille se casse, tout en faisant un minimum de tests. Les hauteurs à tester sont des nombres entiers de mètres. Une bouteille qui tombe sans se casser ne perd rien de sa solidité et peut donc être utilisée plusieurs fois. Il est possible qu’une bouteille ne se casse pas, quelles que soient les différentes hauteurs testées. Pour chaque exercice ci-dessous, la question est la suivante : dans le cas le plus défavorable, quel est le nombre minimum de tests que chaque personne doit réaliser afin de déterminer à partir de quelle hauteur la bouteille se casse (si elle se casse) ? a) La première personne doit faire des tests sur des hauteurs allant de 1 à 3 mètres, avec deux bouteilles du prototype A. b) La deuxième personne doit faire des tests sur des hauteurs allant de 1 à 5 mètres, avec deux bouteilles du prototype B. c) La troisième personne doit faire des tests sur des hauteurs allant de 1 à 6 mètres, avec deux bouteilles du prototype C. d) La quatrième personne doit faire des tests sur des hauteurs allant de 1 à 10 mètres, avec deux bouteilles du prototype D. e) La cinquième personne doit faire des tests sur des hauteurs allant de 1 à 15 mètres, avec deux bouteilles du prototype E. f) La sixième personne doit faire des tests sur des hauteurs allant de 1 à 21 mètres, avec deux bouteilles du prototype F. g) La septième personne doit faire des tests sur des hauteurs allant de 1 à 400 mètres, avec deux bouteilles du prototype G. Solutions (pdf) Retour au haut de page

 

67. Les carrés gréco-latins * ** *** Le grand mathématicien suisse Leonhard Euler (1707-1783) s’était interrogé sur une espèce de carrés magiques illustrés par les problèmes suivants. a) Supposons que l’on ait 9 officiers ayant 3 grades différents (A, B et C) appartenant à 3 régiments différents (1, 2 et 3). On pourrait alors attribuer à chacun un matricule : A1, B1, C1, A2, B2, C2, A3, B3, C3. Placez les neuf matricules de ces officiers dans le carré d’ordre 3 ci-dessous (un matricule par case) de telle manière que dans chaque ligne et dans chaque colonne, il n’y ait jamais de grades identiques et jamais de régiments identiques. b) Nous avons maintenant 16 officiers ayant 4 grades différents (A, B, C et D), et appartenant à 4 régiments différents (1, 2, 3 et 4). Placez les 16 matricules dans un carré d’ordre 4 en respectant les mêmes conditions qu’à l’exercice a). c) Résolvez le même problème avec 25 officiers ayant 5 grades différents et appartenant à 5 régiments différents. Solutions (pdf) Retour au haut de page

 

68. Les billards magiques * ** *** **** Les billards magiques sont tous bordés d'un rectangle ABCD (les côtés de ce rectangle sont les bandes des billards) dans la même disposition que celui dessiné ci-dessous. Ils ont un petit trou à chacun des sommets A, B, C et D et sont entièrement quadrillés de carrés de 1 cm de côté. Une bille minuscule est projetée systématiquement de A, toujours dans la même direction (angle de 45 degrés avec la bande AB) et va rebondir contre les bandes jusqu’à ce qu’elle s’échappe par un des quatre trous. Les dimensions des billards sont données par les côtés x et y. Sur le croquis où une partie du tracé de la bille est dessinée, le billard mesure 6 cm par 5 cm, dimensions que l’on notera tout simplement (6 ; 5). Trois questions sont posées pour chaque billard : Quel est le nombre de carrés traversés par la bille avant de s’échapper ? Combien de fois la bille a-t-elle touché les bandes avant de s’échapper ? Par quel trou la bille va-t-elle s’échapper ? Répondez aux trois questions pour les billards dont les dimensions (x ; y) sont les suivantes : (après avoir résolu quelques exercices à l’aide de dessins, il faut chercher une méthode permettant de résoudre tous les problèmes de ce type sans passer par des dessins). a) 3 cm par 3 cm. b) 3 cm par 2 cm. c) 2 cm par 5 cm. d) 6 cm par 5 cm. e) 9 cm par 6 cm. f) 14 cm par 8 cm. g) 24 cm par 44 cm. h) 324 cm par 252 cm. Solutions (pdf) Retour au haut de page

 

69. Les récompenses  *** Un maître de mathématiques annonce à ses 20 élèves ceci : « Afin de vous récompenser pour votre excellent travail durant cette année scolaire, j’offrirai à certain d’entre vous une récompense. Demain, je vous demanderai de vous mettre dans une position telle que le premier ne voit aucun de ses camarades, que le 2ème ne voit que le premier, que le 3ème ne voit que les deux premiers, que le 4ème ne voit que les trois premiers et ainsi de suite, jusqu’au 20ème qui sera le seul à voir tous ses camarades. Ensuite, je mettrai sur la tête de chacun un chapeau bleu ou rouge. Puis je demanderai à chacun, du 20ème au premier, à tour de rôle, de prononcer le mot bleu ou rouge. Je dirai juste à chaque élève qui indiquera correctement la couleur de son chapeau et faux aux autres. Ceux à qui je dirai juste recevront une récompense ». Les 20 élèves ont un jour pour élaborer une stratégie. Combien d’élèves, au maximum, seront sûrs de recevoir une récompense ? (Si vous êtes en panne d’inspiration, lisez le premier paragraphe de la solution et continuez ensuite la recherche) Solution (pdf) Retour au haut de page

 

70. Les terrains des Lilliputiens * ** Au pays des Lilliputiens, six frères, Jules, Albert, Benoît, Candide, Denis et Eric, possèdent chacun un domaine d’un seul tenant. Les domaines de chacun sont parfaitement séparés les uns des autres. Chacun souhaite léguer la totalité de son domaine à ses enfants, lesquels ne doivent recevoir qu’une seule parcelle, rectangulaire ou triangulaire. Ils décident de mettre un piquet à chacun des sommets des terrains donnés et de poser une seule barrière entre chaque piquet. Jules a deux enfants. Il a séparé son domaine selon le croquis suivant. Il lui a fallu mettre 6 piquets et 7 barrières. a) Albert a divisé son domaine de la manière suivante. Combien a-t-il d’enfants ? Combien a-t-il mis de piquets et de barrières ? b) Benoît a divisé son domaine de la manière suivante. Combien a-t-il d’enfants ? Combien a-t-il mis de piquets et de barrières ? c) Candide a deux enfants. Pour partager son domaine, il a mis 5 piquets. Combien a-t-il mis de barrières ? Dessine le domaine après le partage. d) Denis a 5 enfants. Il a mis 6 piquets pour faire le partage. Combien d’enfants ont eu un terrain triangulaire ? e) Eric a mis 7 piquets pour faire le partage. Combien a-t-il d’enfants ? f) Il existe une relation liant le nombre d’enfants (E), le nombre de piquets (P) et le nombre de barrières (B). Quelle est cette relation ? Solutions (pdf) Retour au haut de page

 

71. Le dilemme de Monty Hall  *** Monty Hall est le nom d’un célèbre animateur d’une télévision américaine qui proposait à ses invités, dans les années 1960, un jeu dans lequel ils tentaient de gagner une automobile. L’invité avait à choisir entre trois portes. Il savait que derrière une des portes il y avait une automobile et derrière les deux autres il y avait une chèvre. L’animateur savait derrière quelle porte se trouvait l’automobile. Une fois que l’invité avait choisi la porte (sans l’ouvrir), l’animateur ouvrait une autre porte derrière laquelle se trouvait toujours une chèvre. Après cela, l’animateur laissait le choix à l’invité de garder la porte choisie au départ ou de reporter son choix sur l’autre porte restée fermée. Que devait faire l’invité pour maximiser ses chances de gagner l’automobile ? Quelle était sa chance de gagner l’automobile en faisant le meilleur choix ? Solutions (pdf) Retour au haut de page

 

72. Babar et les bananes  ** *** **** ***** L’éléphant Babar a été dressé pour transporter des bananes entre une bananeraie et un marché. Babar travaille volontiers, mais lorsqu’il est en mission, il ne peut pas s’empêcher de manger une banane à la fin de chaque kilomètre parcouru. Malgré cela, ce rusé a toujours réussi à amener au marché où sa mission se termine le maximum de bananes possible. Dans les six cas suivants, trouvez le nombre de bananes amenées au marché par Babar. Dans la colonne A, vous trouvez le nombre de bananes mises à disposition de Babar. Dans la colonne B, vous avez la distance, en kilomètres, entre la bananeraie et le marché. Dans la colonne C, les nombres représentent le nombre maximum de bananes que Babar est capable de transporter (dans sa jeunesse, il n’était pas très robuste).   A B C a) 7 3 4 b) 18 5 6 c) 23 5 6 d) 23 3,2 6 e) 60 10 21 f) 3900 1000 1050 Solutions (pdf) Retour au haut de page

 

73. Les vitesses moyennes  ** *** Pour se rendre à son lieu de travail, Luc suit toujours le même chemin, que ce soit à l’aller ou au retour. a) Lundi, il s’est déplacé à pied. A l’aller, il a fait du 5 km/h et au retour du 7,5 km/h. Quelle a été sa vitesse moyenne, en km/h, pour l'aller-retour  ? b) Mardi, il est allé au travail en vélo. Au retour, il a roulé à 30 km/h. Quelle a été sa vitesse à l’aller si sa vitesse moyenne pour l'aller-retour a été de 24 km/h ? c) Mercredi, il a voyagé en voiture. Pris dans un bouchon, il n’a pu faire l’aller qu’à 25 km/h. A quelle vitesse doit-il revenir chez lui pour que sa vitesse moyenne pour l'aller-etour soit le double de sa vitesse à l’aller ? d) Lorsqu’une moitié d’un parcours est effectuée à la vitesse v1 et que la seconde moitié est réalisée à la vitesse v2, il existe une formule permettant de trouver la vitesse moyenne vm entre l’aller et le retour. Déterminez vm en fonction de v1 et de v2. Solutions (pdf) Retour au haut de page

 

74. La règle de Golomb * *** Une règle de Golomb (nom donné en l’honneur du mathématicien Solomon Wolf Golomb, né en 1932 à Baltimore aux Etats-Unis, lequel est à l’origine de cette règle) est une règle munie de marques à des positions toujours entières. Chaque couple de marques de cette règle doit mesurer une longueur différente de toute autre paire de marques. La première marque, sauf indication contraire, est 0. La règle de Golomb dessinée ci-dessous permet de mesurer six longueurs différentes : 1 (1 - 0) ; 2 (3 - 1) ; 3 (3 - 0) ; 4 (7 - 3) ; 6 (7 - 1) ; 7 (7 - 0). Au lieu de dessiner une règle de Golomb, on se contente souvent de ne noter que les marques de la règle. Ainsi, dans notre exemple, la règle est remplacée par (0, 1, 3, 7). Par définition, on dit que : L'ordre d'une règle de Golomb est le nombre de marques qu'elle porte. La longueur d'une règle de Golomb est la plus grande distance entre deux de ses marques. Une règle de Golomb est parfaite si elle permet de mesurer toutes les distances entre 0 et la longueur de la règle. Il n'existe pas de règle parfaite de plus de 4 marques. La plus courte règle de Golomb pour un ordre donné s'appelle une règle de Golomb optimale. Remarque : chaque règle de Golomb possède une règle symétrique. La règle (0, 1, 3, 7) est symétrique à la règle (0, 4, 6, 7). Habituellement, si on mentionne une règle de Golomb, on ne mentionne pas celle qui lui est symétrique. a) Prenons la règle donnée en exemple (0, 1, 3, 7). Quel est son ordre ? Quelle est sa longueur ? Est-elle parfaite (si ce n’est pas le cas, dessinez une règle parfaite à 4 marques) ? Est-elle optimale ? b) Cherchez trois règles à cinq marques dont la longueur ne dépasse pas 13. c) Cherchez deux règles à huit marques dont la longueur ne dépasse pas 44. Solutions (pdf) Retour au haut de page

 

75. Les sacs de 50 billes *** **** ***** a) Trois sacs, A, B et C, contiennent chacun 50 billes. L’un d’eux ne renferme que des billes de 10 g. Un autre ne contient que des billes de 11 g et un autre ne recèle que des billes de 9 g. Afin de déterminer la masse des billes de chaque sac, on extrait a billes du sac A, b billes du sac B et c billes du sac C. Ensuite, on procède à une seule pesée en mettant l’ensemble des billes extraites sur une balance électronique. On souhaite que le nombre total de billes sorties des sacs soit le plus petit possible et on veut que 0 soit plus petit ou égal à a, que a soit plus petit ou égal à b, et que b soit plus petit ou égal à c. Combien faut-il sortir de billes de chaque sac ? b) Quatre sacs, A, B, C et D, contiennent chacun 50 billes. Deux sacs contiennent uniquement des billes de 10 g. Un sac ne contient que des billes de 11 g et un autre sac ne renferme que des billes de 9 g. Afin de déterminer la masse des billes de chaque sac, on extrait a billes du sac A, b billes du sac B, c billes du sac C et d billes du sac D. Ensuite, on procède à une seule pesée en mettant l’ensemble des billes extraites sur une balance électronique. On souhaite que le nombre total de billes sorties des sacs soit le plus petit possible et on veut que 0 soit plus petit ou égal à a, que a soit plus petit ou égal à b, que b soit plus petit ou égal à c, et que c soit plus petit ou égal à d. Combien faut-il sortir de billes de chaque sac ? c) Huit sacs, A, B, C, D, E, F, G et H, contiennent chacun 50 billes. Six sacs contiennent uniquement des billes de 10 g. Un sac ne contient que des billes de 11 g et un autre sac ne renferme que des billes de 9 g. Afin de déterminer la masse des billes de chaque sac, on extrait a billes du sac A, b billes du sac B, c billes du sac C, d billes du sac D, etc. Ensuite, on procède à une seule pesée en mettant l’ensemble des billes extraites sur une balance électronique. On souhaite que le nombre total de billes sorties des sacs soit le plus petit possible et on veut que 0 soit plus petit ou égal à a, que a soit plus petit ou égal à b, que b soit plus petit ou égal à c, que c soit plus petit ou égal à d, etc. Combien faut-il sortir de billes de chaque sac ? Solutions (pdf) Retour au haut de page

 

76. La lampe magique  * ** Guy appuie sur l’interrupteur de la lampe magique. Celle-ci s’allume pendant une minute, puis s’éteint pendant une demi-minute, puis s’allume pendant un quart de minute, puis s’éteint pendant un huitième de minute, puis s’allume pendant un seizième de minute, et ainsi de suite, indéfiniment, le temps de chaque étape étant la moitié de l’étape précédente. a) La lampe magique sera-t-elle allumée une minute et 58 secondes après l’appui sur l’interrupteur ? b) La lampe magique sera-t-elle allumée deux minutes après l’appui sur l’interrupteur ? Solutions (pdf) Retour au haut de page

 

77. Les degrés Celsius et Fahrenheit **  *** Pour mesurer la température (T), la plupart des pays utilisent le degré Celsius (°C). Les Etats-Unis utilisent le degré Fahrenheit (°F). 0° C correspond à 32° F et 100° C est équivalent à 212° F. 0° C est la température de congélation de l’eau et 100° C est la température d’ébullition de l’eau. Le zéro absolu est la température la plus basse qui puisse exister. Il correspond à environ - 273° C. La relation entre les deux systèmes de mesure est donnée par T (°F) = 1,8 x T (°C) + 32. a) Quel est l’équivalent en degrés Fahrenheit de 20° C, et de -15° C ? b) Quel est l’équivalent en degrés Celsius de 100° F, et de -15° F ? c) Quelle est la température dont les mesures en degrés Celsius et en degrés Fahrenheit sont identiques ? Solutions (pdf) Retour au haut de page

 

78. Les sept prisonniers  *** **** Dans une prison, il y a sept prisonniers. Chacun d’eux est seul dans sa cellule, ne peut pas communiquer avec les autres et n’a aucun moyen de savoir ce qui se passe en dehors de sa cellule. Un jour, le directeur réunit les sept prisonniers et leur dit ceci : « Je vous propose un défi qui commencera demain. Chaque jour, un gardien fera venir dans cette salle l’un de vous, choisi au hasard, ce qui signifie qu’un même prisonnier peut y venir plusieurs jours de suite. A l’intérieur de cette salle, il n’y a qu’une ampoule et un interrupteur, lequel permet d’allumer ou d’éteindre la lumière de cette ampoule. Votre seul droit sera d’appuyer sur l’interrupteur, si vous le souhaitez. Personne d’autre que vous ne touchera l’interrupteur. Vous gagnerez le défi lorsque l’un de vous affirmera avec justesse que vous êtes tous les sept passés au moins une fois dans cette salle. Au début du défi, la lumière sera éteinte. Dernière précision, si le défi est gagné, vous serez libérés, sinon vous serez fusillés. Vous avez maintenant une heure pour définir ensemble une stratégie. Ensuite, les gardiens vous reconduiront dans vos cellules. » Quelle stratégie doivent adopter les prisonniers pour être libérés ? Cette énigme me plaît beaucoup car la donnée est simple, sans piège, et aisément compréhensible par tous ceux dont les mathématiques ne sont plus qu’un lointain souvenir. Comment quantifier la difficulté de cette énigme ? La solution, si elle n’est pas difficile d’un point de vue mathématique, exige beaucoup d’imagination et de logique. Essayez de la résoudre en y réfléchissant une quinzaine de minutes, à plusieurs occasions, si nécessaire, à quelques jours d’intervalles. Si elle vous échappe encore, alors, avant d’aller voir la solution, lisez l’indice ici. Solution (pdf) Retour au haut de page

 

79. Le partage des billes  ** *** Quelques amis jouent avec 120 billes. Ils se les partagent de manière parfaitement équitable. Ensuite, par tirage à la courte paille, ils déterminent un perdant. Ce perdant doit donner le même nombre de billes (au minimum 1 bille) à chacun de ses amis. Ensuite, ils déterminent à nouveau un perdant par tirage à la courte paille, lequel doit donner le même nombre de billes (au minimum 1 bille) à chacun de ses amis. Le jeu continue ainsi, toujours de la même manière. A un certain moment, avant de procéder à un nouveau tirage, l’un d’eux n’a plus de billes et un autre en a 12. Combien y a-t-il de personnes participant à ce jeu (donnez tous les cas possibles) ? Solution (pdf) Retour au haut de page

 

80. Le bonimenteur  *** **** Lors d’une fête, un bonimenteur (personne qui dit des paroles pompeuses dans le but de séduire) annonce à haute voix le jeu suivant : « Mesdames et messieurs, voici trois dés traditionnels portant les numéros de 1 à 6. Chacun pourra miser sur autant de numéros qu’il souhaite et chaque mise coûte 10 euros. Je mettrai ensuite ces trois dés dans une boîte que je secouerai, puis retournerai afin que les dés retombent sur la table. Votre mise sera doublée si votre numéro apparaît sur un seul dé. Votre mise sera triplée si votre numéro apparaît sur exactement deux dés et votre mise sera quadruplée si votre numéro apparaît sur trois dés. Mon épouse se charge de noter et d’encaisser les mises. A vous de jouer.» Apparemment, le jeu est tentant. Essayons d’en découvrir les faces cachées. Nous verrons, ce n’est pas une surprise, que le bonimenteur est le véritable gagnant. Imaginons un individu que l’on va appeler Monsieur PIGEON qui va miser systématiquement sur les 6 numéros afin, croit-il, de maximiser ses chances. Pour découvrir les chances réelles de Monsieur PIGEON, répondez aux questions suivantes : a) Combien les trois dés représentent-ils de configurations différentes ? (Vérifiez que votre réponse soit juste avant de passer aux questions suivantes). b) Parmi toutes les configurations, combien y en a-t-il dont trois numéros sont identiques ? c) Parmi toutes les configurations, combien y en a-t-il dont seulement deux numéros sont identiques ? d) Parmi toutes les configurations, combien y en a-t-il dont les trois numéros sont différents ? e) Quel montant total le bonimenteur aura-t-il encaissé pour toutes les configurations différentes prises chacune une seule fois ? f) Quel montant total le bonimenteur aura-t-il versé pour toutes les configurations différentes prises chacune une seule fois ? g) Quel gain total le bonimenteur aura-t-il réalisé sur toutes les configurations différentes prises chacune une seule fois ? Combien cela représente-t-il en pour cent du montant total encaissé ? h) Quelle perte moyenne fait Monsieur PIGEON, chaque fois qu’il mise sur les 6 numéros ? Solutions (pdf) Retour au haut de page

 

81. Les billes de couleur  * ** Dans un sac, il y a 5 billes vertes, 8 billes rouges et 13 billes bleues. Combien faudrait-il en prendre, au hasard et au minimum, pour être sûr d’obtenir : a) Deux billes de couleur différente ? b) Une bille rouge ? c) Une bille verte et une bille bleue ? d) Trois billes de la même couleur  e) Quatre billes de chaque couleur ? Solutions (pdf) Retour au haut de page

 

82. Les détenus  *** **** Les énigmes suivantes sont dues à Raymond Smullyan (1919-2017) auteur de nombreux livres de casse-tête. Je les ai un peu adaptées. Dans une prison très spéciale, les détenus ont parfois une chance de s’en sortir. De temps à autre, certains d’entre eux sont amenés devant des cellules sur les portes desquelles sont collées des affiches. Ils savent que seules les cellules conduisant à une princesse leur permettront d’avoir la vie sauve. Pour les épreuves de janvier, les détenus apprirent qu’ils auraient à choisir entre deux cellules. Ils surent que chacune des cellules contenait un tigre ou une princesse, qu’il était aussi possible qu’il y ait un tigre dans chacune des cellules ou qu’il y ait une princesse dans chacune des cellules. Première épreuve (5 janvier). Un prisonnier fut conduit devant les portes des deux cellules et on lui dit ceci : « Une des affiches dit la vérité et l’autre ment. » Affiche de la cellule 1 : Il y a une princesse dans cette cellule et un tigre dans l’autre. Affiche de la cellule 2 : Il y a une princesse dans une cellule et un tigre dans l’autre cellule. Quelle cellule dut choisir le prisonnier pour être sûr de rencontrer la princesse ? Deuxième épreuve (17 janvier). Un prisonnier fut conduit devant les portes des deux cellules et on lui dit ceci : « Les affiches disent la vérité toutes les deux ou bien elles mentent toutes les deux. » Affiche de la cellule 1 : Une au moins des deux cellules contient une princesse. Affiche de la cellule 2 : Il y a un tigre dans l’autre cellule. Quelle cellule dut choisir le prisonnier pour être sûr de rencontrer la princesse ? Troisième épreuve (23 janvier). Un prisonnier fut conduit devant les portes des deux cellules et on lui dit ceci : « L’affiche 1 dit la vérité lorsqu’il y a une princesse dans cette cellule et elle ment s’il y a un tigre dans cette cellule. L’affiche 2 ment lorsqu’il y a une princesse dans cette cellule et elle dit la vérité s’il y a un tigre dans cette cellule. » Affiche de la cellule 1 : Les deux cellules contiennent une princesse. Affiche de la cellule 2 : Les deux cellules contiennent une princesse. Quelle cellule dut choisir le prisonnier pour être sûr de rencontrer la princesse ? Pour l’épreuve de février, les détenus apprirent qu’ils auraient à choisir entre trois cellules. Ils surent qu’il y aurait une princesse dans une cellule et un tigre dans chacune des deux autres cellules. Quatrième épreuve (14 février). Un prisonnier fut conduit devant les portes des trois cellules et on lui dit ceci : « L’affiche collée sur la porte de la princesse dit la vérité et au moins une des deux autres affiches ment. » Affiche de la cellule 1 : Il y a un tigre dans la cellule 2. Affiche de la cellule 2 : Il y a un tigre dans cette cellule. Affiche de la cellule 3 : Il y a un tigre dans la cellule 1. Quelle cellule dut choisir le prisonnier pour être sûr de rencontrer la princesse ? Pour l’épreuve de mars, les détenus apprirent qu’ils auraient à choisir entre trois cellules. Ils surent qu’il y aurait une princesse dans une cellule, un tigre dans une autre, et qu’une cellule était vide. Cinquième épreuve (9 mars). Un prisonnier fut conduit devant les portes des trois cellules et on lui dit ceci : « L’affiche collée sur la porte de la princesse dit la vérité et celle du tigre ment. » Affiche de la cellule 1 : La cellule 3 est vide. Affiche de la cellule 2 : Il y a un tigre dans la cellule 1. Affiche de la cellule 3 : Cette cellule est vide. Quelle cellule dut choisir le prisonnier pour être sûr de rencontrer la princesse ? Solutions (pdf) Retour au haut de page

 

83. Les vampires  *** **** Les énigmes suivantes, comme celles du numéro précédent, sont dues à Raymond Smullyan (1919-2017) auteur de nombreux livres de casse-tête. Je les ai un peu adaptées. Dans un pays cohabitent des humains et des vampires dont les apparences sont parfaitement semblables. Dans les deux cas, il y a des « sains » et des « fous ». Les humains sains disent toujours la vérité, tandis que les humains fous mentent toujours. Au contraire, les vampires sains mentent toujours, tandis que les vampires fous disent toujours la vérité. Première enquête. Dans ce pays, un humain épouse toujours un humain et un vampire se marie toujours avec un vampire. Un Inspecteur (humain sain) de ce pays voulait en savoir un peu plus sur le couple Sylvia et Sylvain. L’Inspecteur interrogea Sylvia et celle-ci fit la déclaration suivante : « Mon mari est un humain. » Il interrogea ensuite Sylvain. Celui-ci affirma : « Ma femme est un vampire. » Sylvia rajouta alors : « Un seul de nous deux est fou. » Que put dire l’Inspecteur de chacun des époux ? Seconde enquête. Le même Inspecteur avait arrêté deux frères, Marc et René, dont il savait qu’un seul des deux était un vampire, sans savoir lequel. L’Inspecteur interrogea Marc qui déclara : « Nous sommes fous. » Il demanda alors à René si la déclaration de Marc était vraie. René répondit : « Bien sûr que non. » L’Inspecteur put alors démasquer le vampire. Qui est le vampire ? Est-ce un vampire sain ou un vampire fou ? Solutions (pdf) Retour au haut de page

 

84. La roue de la fortune  *** Cet exercice devrait permette à tout un chacun de faire une petite excursion dans le domaine des probabilités. Rappelons que la probabilité (P) qu’un événement se réalise est le rapport entre le nombre de possibilités qu’il a de se produire (cas favorables) et le nombre total de possibilités (cas possibles).             P = Nombre de cas favorables / Nombre de cas possibles. La roue de la fortune de ce jeu ne compte que cinq nombres : 1, 2, 3, 4 et 5. Aujourd’hui, les participants ne peuvent faire tourner la roue qu’une seule fois. Quelle est la probabilité, en pour cent, qu’au moins deux d’entre eux obtiennent le même numéro ? Pour aller un peu plus loin avec un exercice similaire, rendez-vous au numéro 85. a) S'il n'y a que deux joueurs. b) S'il n'y a que trois joueurs. c) S'il n'y a que quatre joueurs. d) S'il n'y a que cinq joueurs. e) S'il n'y a que six joueurs. Solutions (pdf) Retour au haut de page

 

85. Le paradoxe des anniversaires  *** **** Il est fortement conseillé de résoudre l’exercice 84 avant d’attaquer cet exercice. Nous considérons ici que toutes les années ont 365 jours a) Dans une salle où il y a deux personnes, quelle est la probabilité, en pour cent, que les deux aient leur anniversaire le même jour ? b) Dans une salle où il y a trois personnes, quelle est la probabilité, en pour cent, qu’au moins deux personnes aient leur anniversaire le même jour ? Répondez aux questions c), d) et e) en considérant qu’il y a n personnes dans une salle (n plus grand ou égal à 2 et plus petit ou égal à 365). c) Trouvez une formule faisant appel aux factorielles permettant de calculer le nombre de cas où personne n’a la même date d’anniversaire que quelqu'un d'autre. d) A partir de la formule trouvée en c), trouvez celle qui donne le nombre de cas où au moins deux personnes ont leur anniversaire le même jour. e) A partir de la formule trouvée en d), déterminez celle qui donne la probabilité que dans cette salle il y ait au moins deux personnes qui ont leur anniversaire le même jour. f) Combien faut-il de personnes dans une salle, au minimum, pour que la probabilité qu’au moins deux personnes aient leur anniversaire le même jour soit supérieure à 50 % ? Solutions (pdf) Retour au haut de page

 

86. Les marches * ** *** David est capable de monter les marches de l’escalier de sa maison une par une, deux par deux ou trois par trois. Par exemple, pour aller jusqu’à la 6ème marche, il peut monter sur la première marche puis bondir jusqu’à la 4ème marche et enfin sauter jusqu’à la 6ème marche. De combien de façons différentes peut-il monter les marches pour aller du bas de l’escalier jusqu’à la a) 3ème marche ? b) 4ème marche ? c) 5ème marche ? d) 6ème marche ? e) 7ème marche ? Faites un tableau à deux entrées dans lequel vous noterez la correspondance entre le nombre de marches à monter et le nombre de façons différentes de les monter. f) Observez dans votre tableau la suite des nombres indiquant les nombres de façons différentes de monter les marches. Cette suite peut être complétée indéfiniment par une méthode simple. Quelle est cette méthode ? Solutions (pdf) Retour au haut de page

 

87. Les chutes dans le vide ** *** Tous les corps lâchés dans le vide, sans vitesse initiale, parcourent pendant le temps t (en secondes) la distance d (en mètres) selon la formule suivante : Cette formule ne dépend pas de la masse des corps car nous parlons ici d’un espace totalement vide. Une chute dans notre atmosphère serait freinée par les différents éléments qui la composent (azote, oxygène, argon, etc.). a) Dans le vide, quelle distance parcourt un corps en 5 secondes ? b) Dans le vide, quelle distance parcourt un corps en 10 secondes ? c) Combien dure une chute de 100 mètres dans le vide ? d) Combien dure une chute de 1000 mètres dans le vide ? Solutions (pdf) Retour au haut de page

 

88. Les années bissextiles * ** Une année dure 365 jours, sauf les années dites bissextiles qui comptent 366 jours. Une année est bissextile si et seulement si elle est divisible par 4, à l'exception des années divisibles par 100. Cependant, les années divisibles par 400 sont toujours bissextiles. L’ancêtre Jules est né le 29 février 1896 et est décédé à 105 ans, le 15 avril 2001. Il avait décidé de ne fêter son anniversaire que les 29 février, en conservant toutes les bougies utilisées à ces occasions (1 bougie par année d' âge, le jour de son anniversaire). Combien de bougies a-t-il mises de côté durant sa vie ? Solution (pdf) Retour au haut de page

 

89. Les divisions infernales * **  *** **** ***** Dans cet exercice, tous les nombres sont des entiers positifs ne commençant jamais par 0. Toutes les solutions peuvent être trouvées sans l’aide d’un ordinateur. a) a7 est un nombre de deux chiffres divisible par 3. Quels sont les nombres représentant a7 ? b) 87a2 est un nombre de quatre chiffres divisible par 8. Quels sont les nombres représentant 87a2 ? c) 835ab est un nombre de cinq chiffres divisible par 18. Quel est le plus grand nombre représentant 835ab ? d) 2ab2 est un nombre de quatre chiffres divisible par 59. Quels sont les nombres représentant 2ab2 ? e) ab57 est un nombre de quatre chiffres divisible par 23. Quels sont les nombres représentant ab57 ? f) abc205 est un nombre de six chiffres divisible par 139. Quels sont les nombres représentant abc205 ? g) abcde37 est un nombre de sept chiffres divisible par 13. Quel est le plus petit nombre représentant abcde37 ? Solutions (pdf) Retour au haut de page

 

90. Un carré magique étonnant  ** *** Soit un carré composé lui-même d’un certain nombre de cases carrées ayant toutes la même grandeur. Un tel carré est dit magique lorsque, après avoir mis un seul nombre dans chacune des cases, la somme de chaque ligne, de chaque colonne et des deux diagonales, est toujours la même. Cette somme (S) est appelée densité. Annie a réussi à trouver un carré magique composé uniquement de nombres premiers, tous différents, et dont la densité est la plus petite possible. Complétez son carré magique dont trois nombres sont déjà donnés. Rappel : 1 n’est pas un nombre premier. 71 89 5 Solution (pdf) Retour au haut de page

 

91. Les poignées de main et les bises * **  *** **** Lorsque des amis se rencontrent, tout le monde se serre la main et des bises s’échangent exclusivement entre les hommes et les femmes et entre femmes. En Suisse, la coutume veut qu’entre deux personnes, il y ait un échange de six bises. a) Combien y a-t-il de poignées de main quand 3 personnes se rencontrent ? b) Combien y a-t-il de bises lorsque 1 femme rencontre 3 hommes ? c) Combien y a-t-il de bises lorsque 3 femmes et 2 hommes se rencontrent ? d) Combien y a-t-il de poignées de main lorsque 16 femmes et 22 hommes se rencontrent ? e) A l’anniversaire de David, il y avait plusieurs femmes et plusieurs hommes. Lorsqu’ils se rencontrèrent, ils se firent 132 bises. Combien y avait-il d’hommes à cet anniversaire ? f) Dans une fête à laquelle participèrent au moins cinq femmes et cinq hommes, combien y avait-il de personnes sachant que l’on dénombra 5658 bises ? Solutions (pdf) Retour au haut de page

 

92. La régate  ** *** Le Bol d'or est une régate se déroulant sur le lac Léman. Françoise est au bord de l’eau, à Genève, lieu de départ de la régate, et observe à l’aide de jumelles la position de son époux Pierre-François. Le haut du mât du voilier de Pierre-François est à 10 m de la surface de l’eau et les yeux de Françoise sont à 5 m de la surface de l’eau. A quelle distance de Françoise, au décamètre le plus proche, se trouvera le voilier de Pierre-François lorsqu’il aura complètement disparu de la vue de son épouse ? Note : On considère que le rayon de la Terre mesure 6400 km. Solution (pdf) Retour au haut de page

 

93. La suite des nombres naturels impairs * **  *** Considérons la suite des nombres naturels impairs : 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19, etc. a) Quelle est la somme des deux premiers nombres de cette suite ? b) Quelle est la somme des trois premiers nombres de cette suite ? c) Quelle est la somme des quatre premiers nombres de cette suite ? d) Quelle est la somme des nombres de cette suite lorsqu’elle va de 1 à 19 ? e) Combien y a-t-il de nombres dans cette suite lorsqu’elle va de 1 à n ? f) Quelle est la somme des nombres de cette suite lorsqu’elle va de 1 à n ? g) Quelle est la somme des nombres de cette suite lorsqu’elle va de 1 à 333 ? h) Quelle est la somme des nombres de cette suite lorsqu’elle va de 17 à 85 ? Solutions (pdf) Retour au haut de page

 

94. La rencontre entre Lyon et Paris  *** Dans leur intéressant livre « Sept pères du calcul écrit » paru en 2018 aux éditions des Presses polytechniques et universitaires romandes, Jérôme Gavin et Alain Schärlig nous expliquent pourquoi, en Europe, jusqu’au début de la Renaissance (vers 1300), personne ne pouvait effectuer une addition par écrit. En effet, jusque là, seuls les chiffres romains étaient utilisés et ceux-ci ne se prêtaient pas du tout au calcul écrit. Il a fallu attendre l’arrivée des chiffres arabes - en réalité, ils provenaient de l’Inde - pour amorcer le calcul par écrit. Dans leur livre, Gavin et Schärlig nous présentent les sept principaux personnages qui ont lancé le calcul écrit en Europe. Le Français Nicolas Chuquet est l’un d’entre eux. Il a vécu au 15ème siècle et a écrit un ouvrage avec plus d’une centaine de problèmes. Cet ouvrage passa totalement inaperçu, sauf pour un personnage peu scrupuleux qui publia un livre en copiant de nombreux problèmes de Nicolas Chuquet. Le problème suivant est justement dû à Nicolas Chuquet. Il est tiré du livre de Gavin et Schärlig (page 51), lesquels proposent une résolution très intéressante, par la méthode de la fausse position, méthode utilisée pendant des millénaires, avant que les méthodes algébriques ne s’imposent définitivement, au 19ème siècle. De Lyon à Paris, à pied Ce sont deux hommes dont l’un est à Lyon et l’autre à Paris. Qui en un instant partent l’un de Lyon pour aller à Paris et l’autre de Paris pour aller à Lyon. Celui qui va de Paris à Lyon chemine tellement qu’il accomplit son voyage en 7 jours. Et celui qui va de Lyon à Paris fait son chemin en 8 jours. On veut savoir exactement après combien de jours ils se rencontreront. Solution (pdf) Retour au haut de page

 

95. Eratosthène et la circonférence de la Terre **  *** Eratosthène vécut au 3ème siècle avant Jésus-Christ. Plusieurs savants de l’Antiquité avaient prétendu que la Terre était sphérique, mais Eratosthène fut le premier à avoir trouvé une méthode pour mesurer avec une bonne précision la circonférence de la Terre. Pour bien mesurer la prouesse d’Eratosthène, dans l’histoire qui suit, où se mêlent réalité et légende, il faut tenir compte des connaissances et des moyens de mesure de l’époque. Eratosthène constata qu’à Syène (aujourd'hui Assouan), le soleil éclairait le fond d’un puits, le jour du solstice d’été, à midi, donc lorsque le soleil est au zénith (les rayons qui arrivent au fond du puits, si on les prolonge, passent par le centre de la Terre). Une année plus tard, à la même date et à la même heure, Eratosthène observa l’ombre sur le sol du phare d’Alexandrie et mesura l’angle au sommet du phare (7,2 degrés). Eratosthène mesura ensuite la distance entre Syène et Alexandrie et trouva qu’elle était de 5000 stades. Il pensait que les deux villes étaient sur le même méridien (cercle imaginaire passant par les pôles), ce qui était presque juste. Alors, il put calculer géométriquement la circonférence de la Terre en estimant que les rayons du soleil, au bout du phare et le long du puits, étaient parallèles car le soleil est suffisamment grand et éloigné de la Terre. Sachant que le stade correspondait à 157,5 mètres chez les Egyptiens, à quelle circonférence Eratosthène a-t-il estimé la Terre ? Solution (pdf) Retour au haut de page

 

96. Les pions * **  *** Aloïs et Bruno jouent avec des pions alignés les uns à côté des autres. A tour de rôle, ils doivent enlever 2 ou 3 pions contigus (qui se touchent). Le premier qui ne peut plus jouer perd. C’est toujours Aloïs qui commence. Quelle stratégie doit-il adopter s’il veut être sûr de gagner ? Note : les joueurs ne peuvent pas déplacer les pions, ils ne peuvent donc que les enlever. a) S'ils jouent avec 4 pions. b) S'ils jouent avec 5 pions. c) S'ils jouent avec 6 pions. d) S'ils jouent avec 7 pions. e) S'ils jouent avec 8 pions. f) S'ils jouent avec 49 pions. g) S'ils jouent avec 50 pions. Solutions (pdf) Retour au haut de page

 

97. Le nombre mystérieux  * ** *** Dans ce jeu, nous n'utiliserons que des nombres entiers naturels (0, 1, 2, 3, 4, …). Il nous permettra de réaliser un sympathique tour de magie. Dans la grille suivante, les nombres de la première ligne et de la première colonne (cases grises) ont été choisis au hasard. On complète les autres cases par ce que l’on appelle une table d’addition (2 + 5 = 7 ; 2 + 3 = 5 ; 2 + 8 = 10 ; 12 + 5 = 17 ; etc.). + 5 3 8 2 7 5 10 12 17 15 20 9 14 12 17 a) Complétez la grille suivante en opérant de la même manière. + 13 8 17 5 6         10         8         4         b) Quelle est la somme des nombres des cases grises du tableau dessiné en a) ? Dessinez une grille carrée de 16 cases et inscrivez les nombres trouvés dans les cases blanches de a), sans les changer de place. Entourez un nombre parmi les seize et tracez tous les nombres qui se trouvent sur la même ligne et sur la même colonne que le nombre entouré. Entourez un nombre qui n’est pas tracé ou déjà entouré et tracez tous les nombres qui se trouvent sur la même ligne et sur la même colonne que le deuxième nombre entouré. Répétez encore une fois la même opération. Il va forcément rester un seul nombre dans la grille. Entourez-le aussi. c) Quelle est la somme des quatre nombres entourés ? Que constatez-vous ? Expliquez pourquoi votre constatation n’est pas due au hasard. d) Ce « tour de magie » fonctionne pour toutes les grilles dont le nombre de lignes est égal au nombre de colonnes. Imaginez comment le faire. Solutions (pdf) Retour au haut de page

 

98. L'inspectrice ** *** **** Des documents ultra secrets se trouvent dans une pièce X du service de renseignement d’un certain pays. Pour des raisons de sécurité, seules quelques personnes (notées A, B, C…) ont le droit de pénétrer dans cette pièce et aucune ne peut y aller plus d’une fois par jour. De plus, chaque personne pénétrant dans cette pièce est tenue de noter les personnes qu’elle y a rencontrées. Un secrétaire est chargé de relever les rencontres ayant eu lieu dans la pièce X. Ainsi, si A dit avoir rencontré B, C et D, le secrétaire notera A → B + C + D. La responsable de la sécurité, la redoutée inspectrice Z, soupçonne depuis quelque temps que certaines personnes pénètrent plus d’une fois par jour dans la pièce X. En s’appuyant sur les relevés des 3, 10 et 18 avril, a-t-elle de bonnes raisons d’avoir de tels soupçons ? a) 3 avril : A → B + C ;  B → A + C ;  C → A + B. b) 10 avril : D → E + G ;  E → D + F ;  F → E + G ;  G → D + F. c) 18 avril : H → I + L ;  I → H + J + K + L ;  J → I + K ;  K → I + J + L ;  L → H + I + K. Le 24 avril, l’inspectrice a pu établir, sans avoir consulté les relevés du secrétaire, qu’une seule personne avait pénétré plus d’une fois dans la pièce X. Après analyse des relevés, elle a pu démasquer la personne fautive. Qui était-ce ? Combien de fois est-elle entrée dans la pièce X, au minimum ? d) 24 avril : M → P + N ;  N → M + O ;  O → P + N + T + Q ;  P → M + O ;  Q → O + R ;     R → Q + S ; S → R + T ; T → O + S. Solutions (pdf) Retour au haut de page

 

99. Le chapardeur  *** **** Il est fortement conseillé de résoudre l’exercice 98 (L’inspectrice) avant d’attaquer cet exercice. Diophante est le père de neuf enfants qui disent toujours la vérité, à l’exception de l’un d’entre eux qui ment parfois. Dans leur maison, il y a une salle de jeux dans laquelle il est impossible de se cacher. Un jour, un jeu d’échecs a disparu de cette salle. Pour retrouver le chapardeur, le père demande à chacun qui il a rencontré dans la salle de jeux le jour de la disparition du jeu d’échecs. Chacun prétend d’abord n’être entré qu’une seule fois dans la salle le jour du larcin. Voici les réponses données par les enfants : Anne : « J’ai rencontré Gilles et Henri. » Benoît : « J’ai croisé Fabien et Henri. » Claudine : « J’ai joué avec Denis puis avec Isabelle. » Denis : « J’ai vu Claudine et Eloïse. » Eloïse : « J’ai discuté avec Denis, Fabien, Gilles et Isabelle. » Fabien : « J’ai aperçu Benoît, Eloïse, Gilles et Henri. » Gilles : « J’ai entrevu Anne, Eloïse, Fabien et Henri. » Henri : « J’ai rencontré Anne, Benoît, Fabien et Gilles. » Isabelle : « J’ai vu Claudine et Eloïse. » Chacun sait que les enfants qui ne mentent jamais ne sont pas des chapardeurs. Qui a chapardé le jeu d’échecs ? Solution (pdf) Retour au haut de page

 

100. Le jeu télévisé * ** *** **** Dans un jeu télévisé, l’animateur dispose d’une boîte ronde divisée en un certain nombre de compartiments identiques. Tout joueur, une fois les yeux bandés, sait qu’un robot va mettre un billet de 100 euros dans chacun des compartiments. Pour gagner tout l'argent en jeu, il faut que certaines conditions soient remplies. Si c’est le cas, l’animateur annonce « gagné », sinon il annonce « raté ». A chaque « raté », le joueur retourne autant de billets qu’il souhaite, sans les changer de compartiment, et l’animateur fait pivoter la boîte de manière aléatoire, avant de dire « raté » ou « gagné ». Et le jeu continue toujours ainsi. Chaque retournement de billets constitue un essai et chaque essai fait diminuer le montant pouvant être gagné de 10 euros.Dans chacun des cas ci-dessous, quel montant le joueur pourra-t-il gagner, dans le pire des cas, en jouant avec la meilleure stratégie possible ? Rappelons que les billets ont un côté recto différent du côté verso. a) Le 15 juillet, c’est à Anna de jouer. Elle voit que la boîte contient deux compartiments comme sur le croquis ci-dessous et l’animateur lui apprend que pour gagner, les deux billets ne devront pas être du même côté. b) Le 16 juillet, c’est à Benoît de jouer. Il constate que la boîte renferme deux compartiments comme dans le cas a) et l’animateur lui indique que pour gagner, les deux billets devront être visibles du côté verso. c) Le 17 juillet, c’est à Claudia de jouer. Elle remarque que la boîte est divisée en trois compartiments comme sur le croquis ci-dessous et l’animateur lui apprend que pour gagner, les trois billets devront être visibles du côté recto. d) Le 18 juillet, c’est à Denis de jouer. Il découvre que la boîte est faite de quatre compartiments comme sur le croquis ci-dessous et l’animateur lui indique que pour gagner, les quatre billets devront être visibles du côté recto. Solutions (pdf) Retour au haut de page

 

101. Les bâtonnets * ** Les chiffres qu’affichent les calculatrices sont formés de bâtonnets. Ainsi, comme on peut le voir ci-dessous, le 0 s’écrit avec six bâtonnets, le 1 avec deux bâtonnets, le 2 avec cinq bâtonnets, etc. a) Combien de bâtonnets faut-il pour écrire le nombre 267 ? b) Quel est le plus petit nombre entier positif formé de 11 bâtonnets ? c) Quel est le plus grand nombre entier positif formé de 11 bâtonnets ? d) Combien de nombres entiers positifs différents peut-on écrire en utilisant 8 bâtonnets pour chaque nombre ? Rappel : un nombre entier ne peut jamais commencer par 0. Solutions (pdf) Retour au haut de page

 

102. Les ancêtres de Lucie ** *** La généalogie ascendante a pour but de rechercher les ancêtres d'un individu, tandis que la généalogie descendante sert à retrouver les descendants d'un individu. Pour les êtres humains, on admet qu’une génération correspond à 25 ans. Dans un cas parfait, un enfant (appelons-la Lucie) née en l’an 2000, aurait ses deux parents nés en 1975, ses quatre grands-parents nés en 1950, ses huit arrière-grands-parents nés en 1925, et ainsi de suite. Lucie s’est intéressée aux individus de son arbre généalogique ascendant en se considérant elle-même de la génération 1, ses parents de la génération 2, ses grands-parents de la génération 3, etc. a) A quelle génération correspondent les ancêtres de Lucie nés en 1900 ? b) Combien d’ancêtres de Lucie compte la 7ème génération ? c) Combien d’ancêtres de Lucie compte la génération née en 1200 ? d) Combien d’individus se trouvent sur l’arbre généalogique de Lucie, de l’an 2000 à l’an 1200 (bornes comprises) ? e) Combien d’individus se trouvent sur l’arbre généalogique de Lucie, de l’an 1300 à l’an 1200 (bornes comprises) ? f) La population mondiale sur Terre en l’an 1200 est estimée à 350 millions. Comparez le nombre d’ancêtres de Lucie nés en 1200 (question c) et le nombre d’individus vivant sur notre planète en 1200. Quelle conclusion pouvez-vous en tirer ? Solutions (pdf) Retour au haut de page

 

103. Les photos ** *** Un certain nombre de personnes doivent s’aligner les unes à côté des autres dans le but qu’on les prenne en photo. Combien y a-t-il de possibilités différentes de se placer ? a) Si 3 personnes doivent être sur la photo ? b) Si 5 personnes doivent être sur la photo ? c) Si 9 personnes doivent être sur la photo ? d) Si n personnes doivent être sur la photo ? Solutions (pdf) Retour au haut de page

 

104. L'escargot *** **** En 1982, Martin Gardner (1914 – 2010), considéré comme l’un des plus grands auteurs américains de divertissements mathématiques, publie "Aha ! Gotcha", un recueil de paradoxes mathématiques allant des antiques paradoxes de Zénon jusqu'à celui de l'hôtel de Hilbert. Parmi eux figure le paradoxe de la corde élastique. Cette histoire met en scène Léo, un escargot particulièrement obstiné qui voue sa vie à atteindre l'extrémité d'un élastique sur lequel il progresse. Cet élastique mesure 100 m et Léo avance à la vitesse de 1 m/h. Si rien ne s'oppose à lui, il lui faut 100 heures, soit un peu plus de 4 jours pour atteindre son but. Hélas pour le pauvre Léo, à la fin de chaque heure, dans un temps que l’on considère comme nul, un géant infatigable tire sur cet élastique infiniment extensible de manière qu'il soit rallongé de 100 mètres, de façon homogène. Cela signifie que lorsque le géant tire sur l’élastique, la distance restante à parcourir pour Léo augmente, mais la distance déjà parcourue, aussi. Notre courageux escargot est-il condamné à errer sur cette corde pour l'éternité ou bien pourra-t-il accomplir sa mission et, si oui, après combien de temps atteindra-t-il son but ? Solutions (pdf) Retour au haut de page

 

105. Le classement des billes ** *** **** Jules possède des billes d’apparence identique. Il sait qu’elles sont toutes de masses légèrement différentes. Il aimerait les classer, dans l’ordre, de la plus lourde à la plus légère. Pour cela, il ne dispose que d’une petite balance à plateaux sur laquelle il ne peut mettre qu’une bille de chaque côté. Chaque utilisation de la balance constitue un test. Dans le pire des cas et en appliquant la meilleure stratégie, combien de tests doit-il effectuer, au minimum ? a) Pour classer 3 billes. b) Pour classer 4 billes. c) Pour classer 5 billes. Solutions (pdf) Retour au haut de page

 

106. Les chaises * ** *** **** a) Cinq chaises sont alignées côte à côte et elles ne peuvent pas être déplacées. Deux femmes occupent les deux chaises de gauche et deux hommes les deux chaises de droite. Entre le groupe des femmes et celui des hommes, il y a donc une chaise inoccupée. Les femmes souhaitent prendre les places des hommes et les hommes celles des femmes. Il n’y a qu’une personne pouvant se déplacer à la fois (chaque mouvement d’une personne = 1 déplacement), selon les règles suivantes : Les femmes ne peuvent aller qu’en direction de la position des hommes au départ et les hommes qu’en direction de la position des femmes au départ. Pour se déplacer, chacun ne peut aller que sur une chaise inoccupée à côté de celle où il est assis ou sur une chaise inoccupée en passant par-dessus une seule personne. Comment vont-ils s’y prendre pour effectuer les changements souhaités ? b) Même question pour sept chaises avec, au départ, trois femmes à gauche et trois hommes à droite. c) Combien de déplacements, au minimum, seraient nécessaires dans les mêmes conditions s’il y avait 9 chaises avec, au départ, quatre femmes à gauche et quatre hommes à droite ? d) Combien de déplacements, au minimum, seraient nécessaires dans les mêmes conditions s’il y avait un nombre impair n (n plus grand ou égal à 3) de chaises avec, au départ, (n-1)/2  femmes à gauche et (n-1)/2 hommes à droite ? Solutions (pdf) Retour au haut de page

 

107. L'anniversaire de Cheryl *** Je sais, tu sais, il sait, nous savons… Savoir qu’un autre sait ou ne sait pas peut nous aider à savoir ! Un bon raisonnement fondé sur des informations en apparence insignifiantes peut mener à des conclusions insoupçonnées. L’énigme de l’anniversaire de Cheryl a, paraît-il, été posée aux meilleurs lycéens singapouriens et a fait le « buzz » sur le net. La voici : Albert et Bernard sont devenus amis avec Cheryl et ils veulent connaître la date (jour et mois) de son anniversaire. Cheryl leur répond que c’est une des dix dates suivantes : 15 mai, 16 mai, 19 mai, 17 juin, 18 juin, 14 juillet, 16 juillet, 14 août, 15 août et 17 août. Elle leur explique ensuite qu’elle va donner discrètement le mois de son anniversaire à Albert et le jour de son anniversaire à Bernard. Albert et Bernard tiennent alors le dialogue suivant : Albert : « Je n’arrive pas à savoir la date de l’anniversaire de Cheryl, mais toi non plus. » Bernard : « Alors, je connais maintenant la date. » Albert : « Dans ce cas, moi aussi. » Quelle est la date de l'anniversaire de Cheryl ? Solution (pdf) Retour au haut de page

 

108. Les cartes de Vera ** *** **** a) Vera possède 4 cartes numérotées de 1 à 4, empilées les unes sur les autres, la n° 1 dessus, suivie de la n° 2, de la n° 3 et de la n° 4. Elle prend la carte placée au-dessus du paquet (la n° 1), la place en dernière position et jette la carte suivante (la n° 2). Elle prend ensuite la carte placée au-dessus du paquet (la n° 3), la place en dernière position et jette la carte suivante. Elle continue toujours ainsi en plaçant la carte au-dessus du paquet en dernière position et en éliminant la carte suivante, jusqu’à ce qu’elle n’ait plus qu’une seule carte en main. Quel sera le numéro de la dernière carte dans sa main ? b) Vera fait la même chose, mais avec 10 cartes numérotées dans un ordre croissant, la n° 1 étant la première de la pile. Quel sera le numéro de la dernière carte dans sa main ? c) Vera fait la même chose, mais avec 2000 cartes numérotées dans un ordre croissant, la n° 1 étant la première de la pile. Quel sera le numéro de la dernière carte dans sa main ? Solutions (pdf) Retour au haut de page

 

109. La balance à plateaux * ** *** Une masse représente la quantité de matière contenue dans un objet. Cette quantité de matière, mesurée par exemple en kilos, est toujours la même, quel que soit l’endroit où se trouve cet objet dans l’univers. Le poids mesure la force d’attraction exercée par un astre sur cet objet. Ainsi, le poids d’un objet est environ 6 fois moins grand sur la Lune que sur la Terre. Le poids se mesure en Newton (L’Anglais Isaac Newton, 1642 – 1727, énonça la loi de la gravitation universelle). Poids et masse sont donc deux grandeurs différentes, mais pourtant intimement liées entre elles Autrefois, on utilisait des balances à plateaux pour peser des marchandises. Cela se faisait grâce à l’utilisation de tares posées sur les plateaux. Imaginons-en une, bien robuste, permettant de mesurer de lourdes masses pesant des nombres entiers de kilogrammes. Bien entendu, notre balance est en équilibre lorsqu’aucune tare ni aucune masse ne reposent sur les plateaux. a) Deux tares suffisent à mesurer des masses de 1, 2, 3 et 4 kg. Quelle est la masse de chacune des deux tares ? b) Trois tares suffisent à mesurer toutes les masses allant de 1 à 13 kg. Quelle est la masse de chacune des trois tares ? c) Combien faut-il de tares, au minimum, pour mesurer toutes les masses allant de 1 à 40 kg ? Quelle est la masse de chacune d’elles ? d) Combien faut-il de tares, au minimum, pour mesurer toutes les masses allant de 1 à 364 kg ? Quelle est la masse de chacune d’elles ? Solutions (pdf) Retour au haut de page

 

110. Les maris jaloux * ** *** **** Une barque ne pouvant contenir que deux personnes est disponible pour traverser une petite rivière située dans une contrée où les hommes sont si jaloux qu’ils ne supportent pas que leur femme puisse se trouver en compagnie d’un autre homme sans qu’ils soient aussi présents. Tout passage d’une rive à une autre ou d’une rive à un îlot constitue une traversée et, à la fin de chaque traversée, tous les occupants de la barque mettent pied à terre. Combien de traversées, au minimum, faut-il pour franchir cette rivière: a) A deux couples ? b) A trois couples ? c) A quatre couples ? d) A quatre couples, si, au milieu de la rivière, il y a un îlot sur lequel on peut s’arrêter ? Solutions (pdf) Retour au haut de page

 

111. Les nombres autobiographiques * ** *** **** Un nombre autobiographique est un nombre entier positif dont le 1er chiffre indique le nombre de 0 contenus dans ce nombre, le 2e le nombre de 1, le 3e le nombre de 2 et ainsi de suite jusqu’au 10e qui doit indiquer le nombre de 9 dans ce nombre. Le nombre 1210 est le plus petit d’entre eux. a) II existe un autre nombre autobiographique de 4 chiffres. Quel est ce nombre ? b) Il n’existe qu’un seul nombre autobiographique de 5 chiffres. Il contient exactement deux 0. Quel est ce nombre ? c) Il n’existe qu’un seul nombre autobiographique de 7 chiffres. Quel est ce nombre ? La recherche de ce nombre peut prendre beaucoup de temps. Si vous le souhaitez, allez voir dans les solutions la méthode proposée qui vous permettra de trouver d’autres nombres autobiographiques. d) Il existe exactement 7 nombres autobiographiques. Quels sont-ils ? Solutions (pdf) Retour au haut de page

 

112. La division **** Tous les chiffres de cette division exacte ont disparu et ont été remplacés par un point, sauf un 8 qui apparaît dans le quotient. Quel est le dividende de cette division ? Solution (pdf) Retour au haut de page

 

113. Les barres * ** *** Timoté joue sur une table avec des petites pièces en bois ayant toutes 1 dm de long. Ces pièces peuvent être liées entre elles par un système qui permet une articulation en leurs sommets. Avec 4 pièces, il peut, par exemple, construire un carré qui peut être transformé en un losange. Cependant, s’il fixe solidement une barre (de longueur « b ») le long d’une des diagonales d’un carré, la déformation n’est plus possible. Le but de Timoté est de construire des rectangles indéformables, de dimensions (x; y), formés de petits carrés ayant tous 1 dm de côté. Dans chacun des cas ci-dessous, combien de barres, de longueur « b », au minimum, doit-il fixer le long des diagonales des carrés pour qu’il puisse atteindre son but ? a) (2 dm ; 1 dm) b) (2 dm ; 2 dm) c) (3 dm ; 2 dm) d) (6 dm ; 4 dm) e) (x dm ; y dm) Solutions (pdf) Retour au haut de page

 

114. Le jeu de Marienbad **** Pascale et Sophie jouent avec quatre tas d’allumettes comptant respectivement 1, 3, 5 et 7 allumettes. A tour de rôle, chacune doit retirer dans un des tas autant d’allumettes qu’elle souhaite mais au minimum 1 allumette. La joueuse qui prend la dernière allumette gagne. Pascale souhaite jouer la première. a) Pascale a-t-elle raison de vouloir jouer la première ? Pour être sûre de gagner, comment Sophie doit-elle jouer son premier coup si Pascale a commencé par retirer : b) Le tas complet de 7 allumettes ? c) 2 allumettes dans le tas de 5 allumettes ? d) Le tas de 1 seule allumette ? Ce jeu fait partie des jeux de Nim qui se jouent à deux et qui se terminent forcément par un gagnant. Il fait référence à une scène du film « L’Année dernière à Marienbad », sorti en 1961, dans laquelle deux personnages disputent la version dite misère (celui qui prend la dernière allumette perd) du jeu que pratiquent Pascale et Sophie (version appelée classique). Pour la petite histoire, j’ai trouvé les premières notes sur la stratégie de ce jeu dans le numéro 124 de la revue « Science et Vie », un « hors-série » que je possède encore, paru en septembre 1978 ! Solutions (pdf) Retour au haut de page

 

115. Le journal ** Un journal est composé de feuilles posées les unes sur les autres puis pliées en deux. Chacune de ces feuilles permet d’imprimer quatre pages du journal. Toutes les pages sont numérotées à partir de 1. Voici l’une des feuilles, détachée et grande ouverte, aux pages 8 et 21. Quel est le numéro de la dernière page de ce journal, lorsqu’il est complet ? Solution (pdf) Retour au haut de page

 

116. Le partage équitable *** **** Comment se partager un gâteau, sans l’aide d’un quelconque instrument de mesure, de manière que personne ne se sente lésé ? Si le gâteau doit être partagé entre deux personnes, l’une des deux prépare deux parts et l’autre choisit la part qu’elle souhaite. a) Comment vont procéder Anne, Benoît et Claire s’ils décident que l’un d’entre eux commence par proposer une part qu’il souhaite obtenir, en découpant un morceau dans le gâteau ? b) Comment vont procéder Dorine, Eric et Fanny s’ils décident que l’un d’entre eux commence par découper le gâteau en trois parts et qu’il laissera d’abord choisir leur part aux deux autres ? Solutions (pdf) Retour au haut de page

 

117. Des nombres amusants ** *** **** a) Les nombres préférés de Sabrina sont composés de 6 chiffres : 1, 2, 3, 4, 5 et 6. Pour chacun d’eux, le nombre formé par les deux premiers chiffres est divisible par 2, celui formé par les trois premiers chiffres est divisible par 3, celui formé par les quatre premiers chiffres est divisible par 4, celui formé par les cinq premiers chiffres est divisible par 5 et celui formé par tous les chiffres est divisible par 6. Quel est le plus grand nombre préféré de Sabrina ? b) Les nombres préférés de Thérèse sont composés de 9 chiffres : 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 et 9. Pour chacun d’eux, le nombre formé par les deux premiers chiffres est divisible par 2, celui formé par les trois premiers chiffres est divisible par 3, celui formé par les quatre premiers chiffres est divisible par 4, et ainsi de suite, jusqu’au nombre formé par tous les chiffres qui est divisible par 9. Quels sont les nombres préférés de Thérèse  ? Solutions (pdf) Retour au haut de page

 

118. Les ragots * ** *** Les commères adorent se partager leurs ragots et elles le font uniquement par téléphone pour qu’on ne les surprenne pas dans leurs bavardages. Les commères n’ont jamais d’abonnement téléphonique permettant une conversation avec plusieurs personnes en même temps. Combien de coups de fil sont nécessaires, au minimum, pour que les commères puissent se partager tous leurs ragots : a) Si elles sont 3 ? b) Si elles sont 4 ? c) Si elles sont 5 ? d) Si elles sont 6 ? Solutions (pdf) Retour au haut de page

 

119. Les pirates **** Onze pirates tiennent un conciliabule en pleine mer, aussitôt après s’être emparé dans une embarcation ennemie d’un butin de 20 pièces d'or. Pour partager leurs pièces d’or, ils décident d’abord de se numéroter de 1 à 11, par tirage au sort. Ensuite, le numéro 11 proposera une première répartition de partage qui sera soumise au vote des onze pirates. Cette proposition sera acceptée uniquement si la majorité absolue des trois quarts des pirates disent oui à la proposition. Si elle est rejetée, le numéro 11 sera jeté à la mer et le numéro 10 proposera une nouvelle répartition de partage qui sera soumise au vote des dix pirates restants. Cette proposition sera acceptée uniquement si la majorité absolue des trois quarts des pirates restants approuvent la proposition. Si elle est rejetée, le numéro 10 sera jeté à la mer et le numéro 9 proposera une nouvelle répartition de partage selon le même principe que précédemment. Etonnamment, chaque pirate est un excellent logicien qui n’acceptera une répartition du butin que si elle lui assure d’obtenir plus de pièces qu’il ne peut espérer en recevoir lors d’une autre répartition et il fera tout pour en avoir un maximum. Les pirates ne passent jamais d’accord entre eux quand il s’agit de se partager un butin. Combien de pièces va pouvoir être assuré de recevoir le pirate qui en recevra le plus ? Quel est le numéro de ce pirate ? Note : Définition de la majorité des trois quarts du nombre x de pirates : Si le résultat des trois quarts de x est un nombre entier a, alors la majorité absolue est a. Si le résultat des trois quarts de x est b qui n’est pas un nombre entier, alors la majorité absolue est le nombre entier immédiatement supérieur à b. Solution (pdf) Retour au haut de page

 

120. Les barrières * ** *** Gabriel possède 6 barrières en bois ayant chacune une longueur de 4 m. a) Quelle est l'aire de la plus grande suface rectangulaire qu'il peut entourer avec ces 6 barrières ? b) Quelle est l'aire de la plus grande suface triangulaire qu'il peut entourer avec ces 6 barrières ? c) Quelle est l'aire de la plus grande suface qu'il peut entourer avec ces 6 barrières ? Solutions (pdf) Retour au haut de page

 

121. Les visites ** *** Monsieur NOMBRE a onze amis dont voici les noms : ZERO, UN, DEUX, TROIS, QUATRE, CINQ, SIX, SEPT, HUIT, NEUF et DIX. Lorsque Monsieur NOMBRE rend visite à ses amis, il ne passe jamais deux fois chez le même durant la même journée. a) Aujourd’hui, Monsieur NOMBRE ne souhaite rencontrer que des amis dont le nom correspond à un nombre impair, en commençant par SEPT, et il n'ira d'un ami à un autre que si leurs noms n'ont aucune lettre identique. Combien d’amis, au maximum, Monsieur NOMBRE pourra-t-il rencontrer ? b) Demain, Monsieur NOMBRE ira rendre visite à certains d’entre eux, en commençant par ZERO et en finissant par UN, et il ne pourra aller d’un ami à un autre qui si leurs noms ont deux lettres identiques. A combien d’amis, au maximum, Monsieur NOMBRE pourra-t-il rendre visite ? Solutions (pdf) Retour au haut de page

 

122. Les robots *** Une compétition met aux prises cinquante robots dans une course de 60 mètres sur une piste ayant 7 couloirs. Cela signifie que 7 robots, au maximum, peuvent concourir en même temps. Le jury de la compétition ne doit déterminer que les trois premiers et il sait qu’un robot court toujours à la même vitesse et qu’aucun robot ne court à la même vitesse qu’un autre robot. Aucune course n’est chronométrée. a) Combien de départs, au minimum, doivent être donnés, pour obtenir le classement des trois premiers ? b) Dans le cas d’un nombre minimal de départs, combien de fois, au maximum, s’élancera un robot ? Solutions (pdf) Retour au haut de page

 

123. Le chef des zéros * ** *** **** En mathématiques, la factorielle d’un entier naturel n s’écrit n! et est le résultat du produit de tous les entiers strictement positifs inférieurs ou égaux à n. Exemple : 8! (on prononce 8 factorielle) vaut 40'320 (8 x 7 x 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1). Le dernier chiffre non nul de 40'320 est 2. Ce 2 est appelé le chef des zéros. Trouvez le chef des zéros de : a) 6! b) 12! c) 29! d) 50! Note : cette énigme peut être résolue en ne faisant que de petits calculs. Solutions (pdf) Retour au haut de page

 

124. La collectionneuse  **  Barbara possède 10 pièces de 2 francs de chacune des années allant de 1900 à 1906. Elle les a réparties par année, dans sept boîtes. Chaque pièce pèse 10 grammes. Barbara a appris que son frère Fernand, expert en fausse monnaie, a remplacé toutes les pièces d’une de ses boîtes par de fausses pièces ressemblant parfaitement aux vraies, mais pesant 9 grammes. Comment Barbara peut-elle déceler la boîte contenant les fausses pièces, à l'aide d’une balance électronique, en effectuant une seule pesée ? Solution (pdf) Retour au haut de page

 

125. Les fractions continues  ***  La prestigieuse horloge astronomique de la cathédrale de Strasbourg, inaugurée le 31 décembre 1842 à minuit et toujours en fonction, est l’œuvre de Jean-Baptiste Schwilgué (1776 – 1856). Cette horloge comporte, en plus de l’heure exacte, divers cadrans, calendriers et automates, tous d’une précision extraordinaire. Schwilgué réussit ces prouesses grâce notamment à ses connaissances mathématiques dans le domaine des fractions continues. Pour voir la donnée complète, c'est ici (pdf). Solutions (pdf) Retour au haut de page

 

126. Les abeilles * ** *** Chez l’abeille, les reines (femelles fécondes) ont le privilège de pouvoir, à volonté, donner naissance à des mâles ou à des femelles. En effet, les reines ont la faculté de pondre soit des œufs fécondés qui donneront des femelles, soit des œufs non fécondés qui donneront des mâles appelés faux bourdons. Cette curieuse particularité génétique fait que les faux bourdons n’ont pas de père, même s’ils ont bien un grand-père. Si l’on voulait dessiner l’arbre généalogique des ancêtres d’une abeille, on s’apercevrait qu’il y a régulièrement des croisements entre les branches. Dans cette énigme, nous considérons qu’il n’y a jamais de croisements. a) Combien de grands-parents compte un faux bourdon ? b) Combien d’arrière-grands-parents possède une reine ? c) L’arbre généalogique d’un faux bourdon est constitué de 143 individus. Combien de générations sont représentées sur cet arbre ? Solutions (pdf) Retour au haut de page

 

127. Le tandem  ****  Trois enfants, Aloïs, Bernard et Charly, veulent aller trouver leur père qui travaille à 8,4 km de leur domicile. A pied, pour effectuer un kilomètre, Aloïs a besoin de 7 minutes et demie, Bernard de 10 minutes et Charly de 12 minutes. Les enfants possèdent un tandem (vélo à deux places) qui leur permet de se déplacer à une vitesse de 12 km/h, qu’il soit utilisé à un ou à deux. Sachant que les trois enfants quittent leur maison en même temps, combien de temps leur faut-il, au minimum, pour être tous réunis auprès de leur père ? Solution (pdf) Retour au haut de page

 

128. Latitudes et longitudes * ** *** Pour mesurer les coordonnées géographiques d’un point sur notre Terre, les géographes ont tracé deux types de lignes imaginaires : les parallèles et les méridiens qui se coupent toujours à angle droit. Les méridiens sont des cercles passant par les pôles. Le méridien de référence (ou d’origine), selon une décision prise lors d’une conférence internationale en 1884, passe par Greenwich, un quartier de la banlieue de Londres. Les parallèles sont des cercles parallèles à l’Equateur. Le cercle passant par l’Equateur mesure environ 40'000 km. Sur le croquis ci-contre, le point O est le centre de la Terre. Tout point X de notre planète peut être repéré par sa latitude et sa longitude. Sur le croquis, la latitude de X est l’angle A perpendiculaire au plan de l’Equateur. Cet angle va de 0 à 90 degrés, dans les directions Nord (N) ou Sud (S). La longitude de X est l’angle B sur le croquis. Cet angle va de 0 (longitude du méridien d’origine) à 180 degrés, dans les directions Est (E) ou Ouest (O). Les angles A et B se coupent à angle droit. Si l’on souhaite plus de précisions, on peut diviser chaque degré en 60 parties appelées minutes et chaque minute en 60 parties appelées secondes. Le plus souvent, on donne les coordonnées géographiques d’un point sur Terre par sa latitude d’abord et ensuite par sa longitude. Par exemple, les coordonnées géographiques de Berne sont 46°56' 57'' N et 7°26' 50'' E. Pour répondre aux questions suivantes, on admet que la Terre est parfaitement ronde et qu’elle a une circonférence de 40'000 km. a) A l’Equateur, quelle distance approximative représente 1 degré ? b) A l’Equateur, quelle distance approximative représente 1 seconde ? c) Un avion part de Berne et se dirige vers l’Equateur par le tracé le plus court. Quelle distance approximative aura-t-il parcouru lorsqu’il passera à l’équateur ? d) Quelles sont les coordonnées géographiques du point situé aux antipodes de Berne (diamétralement opposé à Berne) ? Solutions (pdf) Retour au haut de page

 

129. Voyages autour de notre planète *** On a vu dans l’énigme précédente que les méridiens étaient des cercles imaginaires reliant les deux pôles et que le méridien de référence (ou d’origine) passait par Greenwich, un quartier de la banlieue de Londres. Soit A, un point sur notre Terre dont le centre est le point O. Considérons le demi-disque limité par le demi-méridien NAS (pôle Nord, Point A, pôle Sud) et par le diamètre NS. En tournant autour du diamètre NS, ce demi-disque génère une sphère sur laquelle ont été dessinés les 360 méridiens. Deux méridiens consécutifs sont toujours séparés d’un degré. Le plan qui passe par le méridien de A et le centre de la Terre est appelé plan méridien de A. Pour une personne située en A, le Soleil passe dans le plan méridien de A vers midi lorsqu’il fait jour et vers minuit lorsqu’il fait nuit. On sait que la Terre tourne sur elle-même et autour du Soleil. Terre et Soleil sont donc mus par des mouvements complexes. Cependant, pour ce qui va nous occuper par la suite, on peut sans autre considérer que la Terre est fixe et que le Soleil tourne autour de la Terre, parallèlement à l’équateur, en allant toujours vers l’Ouest. Le jour solaire (24 heures) est la durée entre deux passages successifs du Soleil dans le plan méridien d’un lieu donné. Lorsqu’une personne se déplace vers l’Est, elle va au-devant du Soleil et, dans ce cas, la durée d’un jour solaire pour cette personne diminue. Si cette personne se déplaçait vers l’Ouest, elle verrait ses jours solaires augmenter. Alizée (A) part de l’aéroport de Genève (point G) à midi et se déplace vers l’Est (voir croquis ci-dessous) sur son bolide expérimental fonctionnant à l’énergie solaire. Le Soleil (S) se dirige forcément en sens inverse puisqu’il se déplace toujours vers l’Ouest. On considère que les rencontres entre Alizée et le Soleil ont toujours lieu à midi. Leur première rencontre a eu lieu au point 1, alors qu’Alizée s’était déplacée de 75 degrés. Ils se sont croisés 14 heures plus tard au point 2 et se sont retrouvés à nouveau à Genève, alors qu’Alizée terminait son périple. a) Combien de temps a mis Alizée pour aller du point G au point 1 ? b) Quelle est la mesure de l’angle alpha ? c) Combien de temps a mis Alizée pour terminer son périple ? A ce moment-là, combien de jours se sont écoulés pour une personne étant restée à Genève, pendant le tour de la Terre de notre voyageuse ? d) Dylan a aussi fait le tour de notre planète en se déplaçant toujours vers l’Est. Il est parti de Genève à midi. Il constate que lorsqu’il est de retour à Genève, à midi, il a vu 200 levers du jour durant son périple. Combien de levers du jour aurait comptabilisés une personne n’ayant pas bougé de Genève durant le voyage de Dylan ? Solutions (pdf) Retour au haut de page

 

130 . Le concours * ** *** Dans un concours, les participants ne peuvent répondre que par « Juste » ou « Faux » a) Si les participants doivent répondre à deux questions, combien y a-t-il de réponses différentes possibles, au maximum ? b) Si les participants doivent répondre à trois questions, combien y a-t-il de réponses différentes possibles, au maximum ? c) Si les participants doivent répondre à cinq questions et que les correcteurs constatent qu’aucun participant n’a répondu « Juste » à deux questions consécutives, combien de réponses différentes ont pu trouver les correcteurs, au maximum ? d) En corrigeant un concours comportant onze questions, les correcteurs remarquèrent qu’aucun participant n’avait répondu « Juste » à deux questions consécutives. Ils firent alors la déduction qu’au moins deux participants répondirent de manière identique à chacune des questions. Combien y avait-il eu de participants à ce concours, au minimum ? Solutions (pdf) Retour au haut de page

 

131. Les escalators *** **** Un escalator (appelé aussi escalier mécanique, escalateur ou escalier roulant) est constitué de marches mobiles qui ont la particularité de rester horizontales lorsqu’il est en mouvement. Le déplacement d’une personne sur un escalator est analogue au déplacement d’une personne dans un train qui file tout droit, à vitesse constante. Dans ces conditions, en un temps t, la distance parcourue par une personne dans un train en mouvement est la même que si le train était à l’arrêt. La vitesse de déplacement de cette personne est appelée sa vitesse propre. Cependant, la vitesse de cette personne par rapport à un point fixe (par exemple, un poteau au bord du rail) n’est pas la même que sa vitesse propre. Par rapport à ce point fixe, la vitesse est dite réelle. Considérons un escalator à l’arrêt. Il possède un certain nombre de marches visibles qui vont d’un bout A de l’escalator à l’autre bout B. Lorsqu’il se met en mouvement, par exemple dans le sens de A vers B, on dira que des marches vont apparaître en A et que d’autres vont disparaître en B. Dans les énigmes suivantes, on considère qu’une personne se déplaçant sur un escalator ne saute jamais une marche. D’autre part, sauf avis contraire, un escalator et ceux qui l’utilisent vont dans le même sens. a) Pour grimper un escalator à l’arrêt, Eliah met 2 minutes. Immobile sur le même escalator en fonctionnement, Eliah atteint le sommet en 1 minute. Combien de temps va mettre Eliah pour grimper cet escalator en mouvement ? b) Un escalator constitué de 6 marches visibles se déplace à la vitesse de 1 marche à la seconde. Naomi emprunte cet escalator à la vitesse de 2 marches à la seconde. Sur combien de marches va-t-elle poser ses pieds durant la montée ? c) Un escalator est constitué de 30 marches visibles. Joshua emprunte cet escalator à la vitesse de 0,8 marche à la seconde et pose ses pieds sur 12 marches pendant la montée. Quelle est la vitesse de l’escalator ? d) Un escalator constitué de 10 marches visibles se déplace à la vitesse de 1,4 marche à la seconde. Malia emprunte cet escalator, dans le sens contraire, à la vitesse de 1,8 marche par seconde. Sur combien de marches va-t-elle poser ses pieds durant sa descente ? e) Un escalator est constitué de 24 marches visibles. Dylan emprunte cet escalator, dans le sens contraire, et pose ses pieds sur 36 marches durant sa descente. Combien de fois la vitesse propre de Dylan est-elle supérieure à la vitesse de l’escalator ? f) Pour monter un escalator, Pascal a franchi 26 marches en 15 secondes, tandis que son épouse Kunie a gravi 22 marches en 25 secondes. A contre-sens, leur fils Théodore a descendu l’escalator en 30 secondes. Sur combien de marches Théodore a-t-il posé ses pieds durant sa descente ? Solutions (pdf) Retour au haut de page

 

132. Les cubes en bois * ** *** Joaquim a peint en vert un cube en bois de 4 cm d’arête puis il l’a fait entièrement découper en petits cubes de 1 cm d’arête. Combien a-t-il obtenu de : a) Petits cubes  ? b) Cubes peints sur trois faces ? b) Cubes n’ayant aucune face peinte ? Mathilde, sœur de Joaquim, a peint en rouge un cube en bois ayant une arête mesurant un nombre entier de centimètres puis elle l’a fait entièrement découper en petits cubes de 1 cm d’arête. Elle remarque alors qu’elle a obtenu deux fois plus de cubes peints sur une seule face que sur exactement deux faces. d) Quelle était la longueur de l’arête de son cube initial ? Solutions (pdf) Retour au haut de page

 

133. Le tournoi de foot ***** Les cinq équipes A, B, C, D, E disputent un tournoi dans lequel chacune joue une seule fois contre les quatre autres équipes. On sait que l’équipe A a battu C par 3 à 2 et qu’il n’y a pas eu deux scores identiques sur toutes les parties du tournoi (4 à 2 est identique à 2 à 4). Pour chaque match, on a attribué 2 points à l’équipe gagnante, 0 point à la perdante et 1 point à chacune en cas de match nul. Dans le tableau ci-dessous, on trouve, par ligne, pour chacune des équipes, les informations suivantes : Dans la colonne « a », le rang ; Dans la colonne « b », le nombre de buts marqués ; Dans la colonne « c », le nombre de buts reçus ; Dans la colonne « d », le nombre de points obtenus. Quels sont les scores de tous les matches ? Solutions (pdf) Retour au haut de page

 

134. Les trous * ** *** Xavier, Yvon et Zita ont reçu chacun un cube de bois de 10 cm d’arête. Dans leur cube, ils percent de part en part des trous identiques ayant la forme de parallélépipèdes rectangles dont les faces sont parallèles aux arêtes des cubes. Le rectangle correspondant à l’entrée de chaque trou a le même centre que la face du cube qui le contient et il mesure 2 cm par 8 cm. Quel est le volume, en cm3, du solide restant : a) De Xavier qui percé un seul trou dans son cube ? b) D’Yvon qui a percé deux trous dans son cube ? c) De Zita qui a percé trois trous dans son cube ? Solutions (pdf) Retour au haut de page

 

135. Les cartes *** Dans les trois cas donnés ci-après, quelles cartes faut-il nécessairement retourner pour vérifier que les affirmations sont vraies ? a) Charline a posé trois cartes sur une table. Elle prétend qu’au dos des cartes portant un nombre impair, elle a écrit un nombre pair. b) Solène a écrit une lettre de chaque côté de quatre cartes puis les a posées sur une table. Elle affirme que derrière chaque face C se trouve un B. c) Quatre cartes ont été marquées par Justine, d’un côté par une lettre et de l’autre par un chiffre. Elle les a ensuite posées sur une table. Justine prétend que derrière chaque face portant un B se trouve un chiffre 5. Solutions (pdf) Retour au haut de page

 

136. Les Tombolas * ** *** **** Combien y a-t-il eu de billets gagnants lors des tombolas suivantes où ? a) Sur 48 billets numérotés de 1 à 48, les seuls billets gagnants furent tous les multiples de 3 ou de 7. b) Sur 75 billets numérotés de 1 à 75, les seuls billets gagnants furent tous les multiples de 4, de 5 ou de 6. c) Sur 3500 billets numérotés de 1 à 3500, les seuls billets gagnants furent tous les multiples de 8, de 10, de 12 ou de 14. Solutions (pdf) Retour au haut de page

 

137. Les bougies  *** Les bougies, une fois allumées, diminuent de hauteur à vitessse constante. La bougie de Loïc a mis 10 heures pour se consumer. Celle de Jessica, plus fine, mais trois fois plus haute que celle de Loïc, s’est consumée en 5 heures. Si les deux bougies avaient été allumées en même temps, au bout de combien de temps auraient-elles été à la même hauteur ? Solution (pdf) Retour au haut de page

 

138. Le ski  *** Eloane, Axel et Caryl décident d’aller skier aujourd’hui, chacun dans une station différente du val d’Anniviers. Voici ce qu’ils affirment : Eloane : « Si Axel va à Chandolin, je vais à Zinal. » Caryl : « Si Eloane va à Zinal, je me rends à Chandolin, mais si elle va à Grimentz, je vais à Zinal. » Axel : « Si Caryl ne se rend pas à Grimentz, je vais à Zinal. » Où chacun va-t-il aller skier ? Solution (pdf) Retour au haut de page

 

139. Les gloutons * ** *** Le jeu électronique intitulé « Les Gloutons » distribue à chaque partie des gloutons rouges, verts et bleus. Une fois la partie commencée (temps 0), toujours dans le même ordre, pour autant que c’est possible, chaque glouton rouge avale un glouton vert à la première seconde, chaque glouton vert ingurgite un glouton bleu une seconde plus tard, chaque glouton bleu mange un glouton rouge une seconde plus tard, chaque glouton rouge avale un glouton vert une seconde plus tard, etc. Chaque glouton ne peut avaler un de ses congénères que toutes les 3 secondes, même si un type de gloutons a complètement disparu. Les joueurs peuvent décider de la couleur des gloutons qui débutent la partie et peuvent arrêter la partie à tout moment. a) Une partie se présente avec 10 gloutons rouges, 18 gloutons verts et 12 gloutons bleus. Joël fait débuter les gloutons rouges. Il stoppe la partie après la 5e seconde. Combien de gloutons sont alors encore en jeu ? b) L’appareil a distribué 20 gloutons rouges, 19 gloutons verts et 25 gloutons bleus. Catherine fait débuter les gloutons verts. Combien de gloutons rouges seront encore en jeu après la 8e seconde ? c) Isaline a fait débuter les gloutons rouges et a arrêté la partie après la 14e seconde. A ce moment-là, il ne restait plus de gloutons rouges ni de gloutons bleus et un seul glouton vert était encore en jeu. Durant toute la partie, chaque glouton a toujours pu dévorer un autre glouton. Combien y avait-il de gloutons au début de la partie ? Solutions (pdf) Retour au haut de page

 

140. Gare aux impairs ! * ** ***  **** Afin de ne pas commettre d’impairs, Berthe a décidé de bannir les chiffres impairs. Elle a établi, dans un ordre croissant, une longue liste de nombres entiers où les chiffres impairs n’apparaissent jamais : 0, 2, 4, 6, 8, 20, 22, 24, etc a) Quel est le 13e nombre de sa liste ? b) Si elle avait écrit autant de nombres que son âge, le dernier nombre noté aurait été 206. Quel est l’âge de Berthe ? c) Quel est le 369e nombre de sa liste ? d) Quel est le 321'456e nombre de sa liste ? (en base 5, seuls 5 chiffres sont utilisés…) Solutions (pdf) Retour au haut de page

 

141. Les timbres des mathématiciens **** Trois mathématiciens A, B et C participent à un jeu. Un arbitre dispose de sept timbres connus des mathématiciens : quatre rouges et trois verts. Il colle deux timbres au hasard sur le front de chacun des mathématiciens et garde le timbre restant dans sa poche. Chaque mathématicien est incapable de voir les timbres qu'il a sur le front, pas plus qu'il ne connaît le timbre gardé par l'arbitre. En revanche chacun voit les timbres collés sur le front de ses collègues. L'arbitre demande tour à tour à chacun s'il est capable de deviner la couleur des timbres qu'il a sur son front. A répond « Non ». Puis B répond « Oui ». Quelle est alors la réponse de C ? L’arbitre repose ensuite la question à A qui répond « Non ». Quelles sont les couleurs des timbres collés sur B et sur C ? Solutions (pdf) Retour au haut de page

 

142. Les mille-pattes * ** Une famille dont chaque membre possède 1000 pattes est composée d’un père, d’une mère et de cinq enfants. Pour mettre une chaussure, chaque parent a besoin de deux secondes et chaque enfant de trois secondes. Chaque mille-pattes ne peut mettre qu’une seule chaussure à la fois ou alors il peut aider un autre mille-pattes à se chausser. Au minimum, combien de minutes et de secondes faut-il pour se chausser  : a) Au père si personne ne l’aide ? b) A la mère et à un de ses enfants, sans l’aide des autres membres de la famille ? c) A toute cette famille ? Note : Les mille-pattes n’ont pas tous 1000 pattes. En 2021, on a découvert un mille-pattes, baptisé Eumillipes persephone, ayant 1306 pattes. C’est à ce jour la créature la plus membrée de tous les êtres vivants. Solutions (pdf) Retour au haut de page

 

143. La pipopipette *** La Pipopipette (ou jeu des petits carrés) est un jeu qui se joue à deux. L’un des deux joueurs dessine des points sur une feuille quadrillée dont chaque carreau élémentaire est de côté 1. Seuls les carrés de côté 1 rapportent des points (1 point par carré). Chacun joue à tour de rôle en traçant un trait de longueur 1 reliant deux des points dessinés. Si ce trait aboutit à un carré, alors celui qui a tracé ce trait marque 1 point (ou 2 points si le trait donne deux carrés) et doit tracer un autre trait. Si ce nouveau trait forme à nouveau des carrés, le joueur marque autant de points que de nouveaux carrés et poursuit de la même manière avec un nouveau trait. Les traits ne peuvent jamais se superposer. En jouant à ce jeu avec Jérémie, Stéphanie a dessiné 16 points comme on peut le voir sur le croquis ci-dessous. Stéphanie a débuté la partie, 12 traits ont été tracés (selon le croquis) et aucun point n’a été marqué. C’est au tour de Stéphanie de tracer le 13e trait. Combien Stéphanie peut-elle obtenir de points à la fin du jeu si tous les deux jouent parfaitement et cherchent à faire un maximum de points ? Dessinez le 13e trait. Solutions (pdf) Retour au haut de page

 

144. La tour de Pise  ** *** **** La célèbre tour penchée de Pise mesure environ 56 m de haut. Des expériences sont réalisées depuis cette tour, en lâchant une balle. On constate que la balle remonte toujours d’un dixième de sa hauteur de chute. a) A quelle hauteur la balle a-t-elle été lâchée sachant qu’elle a parcouru 48 mètres au moment où elle a touché le sol pour la 2e fois ? b) Quelle distance a effectuée la balle, lâchée d’une hauteur de 50 mètres, à l’instant où elle touche le sol pour la 4e fois ? c) La balle a été lâchée d’une hauteur de 36 mètres. Quelle distance totale a-t-elle parcourue avant de s’arrêter au sol ? Solutions (pdf) Retour au haut de page

 

145. Le camp  ** *** Hélène a passé quelques jours complets dans un camp dédié au sport et à l’étude. A son retour, elle raconte à ses amies : « Il y eut 8 demi-journées d’étude. Quand il y avait étude le matin, nous pratiquions du sport l’après-midi. Nous avons consacré au sport 5 matinées et 9 après-midi. Aucune journée ou demi-journée de pause ! » a) Combien de jours a durés le camp d’Hélène ? b) Quel a été le nombre de journées complètes sans étude ? Solutions (pdf) Retour au haut de page

 

146. Les joueurs de jass  *** **** Cinq amis ont joué cinq parties de jass. A chaque partie, l’un d’entre eux n’a pas joué. La somme des âges des participants de chaque partie a été de 130, 137, 145, 149 et 151. a) Quelle est la somme des âges des cinq joueurs ? b) Quel est l’âge du plus âgé des participants ? c) Quel est le produit des âges des cinq amis ? Solutions (pdf) Retour au haut de page

 

147. Les apéritifs  ** *** **** Sur une petite île, pendant les vacances d’août, chaque adulte s’est vu attribuer un numéro : Un, Deux, Trois, Quatre, Cinq, etc. Remarque : mathématiquement, dire qu’une personne a trinqué avec 3 personnes n’interdit pas qu’elle ait trinqué avec plus de 3 personnes. Dans cette énigme, par souci de simplification, dire qu’une personne a trinqué avec x personnes signifie que cette personne a trinqué avec exactement x personnes. a) Lors d’un apéritif réunissant 4 personnes, monsieur « Un » a trinqué avec une personne, madame « Deux » avec 2 personnes et monsieur « Trois » a trinqué avec 3 personnes. Avec combien de personnes madame « Quatre » a-t-elle trinqué ? b) Lors d’un apéritif réunissant 7 personnes, monsieur « Un » a trinqué avec une personne, madame « Deux » avec 2 personnes, monsieur « Trois » avec 3 personnes, et ainsi de suite, jusqu’à madame « Six » qui a trinqué avec 6 personnes. Avec combien de personnes monsieur « Sept » a-t-il trinqué ? c) Lors d’un apéritif réunissant 131 personnes, monsieur « Un » a trinqué avec une personne, madame « Deux » avec 2 personnes, monsieur « Trois » avec 3 personnes, et ainsi de suite, jusqu’à madame « Cent trente » qui a trinqué avec 130 personnes. Avec combien de personnes monsieur « Cent trente-et-un » a-t-il trinqué ? Solutions (pdf) Retour au haut de page

 

148. Les clés  **** La direction d’une grande entreprise comprend une directrice, un directeur-adjoint et cinq chefs de service. Cette entreprise dispose d’un coffre-fort dans lequel se trouvent des documents ultra secrets. Ce coffre est muni d’un certain nombre de serrures qui doivent être toutes ouvertes pour accéder au coffre. Chaque clé n’ouvre qu’une seule serrure. Les membres de la direction ont reçu un certain nombre de clés afin que : La directrice puisse ouvrir le coffre toute seule ; Le directeur-adjoint ne puisse ouvrir le coffre que s’il est accompagné d’un de ses chefs de service ; Les chefs de service ne puissent ouvrir le coffre que s’ils sont trois. Combien existe-t-il de serrures, au minimum ? Solution (pdf) Retour au haut de page

 

149. Qui veut gagner des euros ? * ** ***  **** Dans un jeu télévisé, un joueur est placé devant un certain nombre de portes alignées les unes à côté des autres. Derrière une de ces portes, il y a au départ 300 euros qu’un joueur peut espérer gagner à condition d’ouvrir la porte derrière laquelle se trouve l’argent. Tout joueur sait qu’après chaque essai raté le montant est diminué de 10 euros et est déplacé discrètement derrière une porte adjacente. Quel montant maximal un joueur est-il sûr de gagner, s’il joue parfaitement, en ayant droit à autant d’essais que voulu, lorsqu’il se trouve face à un jeu comptant : a) 3 portes ? b) 4 portes ? c) 5 portes  ? d) 9 portes ? Solutions (pdf) Retour au haut de page

 

150. Les remontées mécaniques ** *** a) Les vingt-six cabines de la télécabine d’une station de ski sont régulièrement espacées le long d’un câble et numérotées à partir du n° 1. Lorsque Enzo, dans la cabine n° 5, croise la cabine n° 12, quelle cabine croise son ami Simon qui occupe la cabine n° 20 ? b) Dans la même station, sur un télésiège dont les sièges sont aussi régulièrement espacés le long du câble et numérotés à partir du n° 1, au moment où Elisabeth qui est assise sur le siège n° 37 croise le siège n° 60, son amie Francine qui occupe le siège n° 130 croise le siège n° 109. Combien ce télésiège compte-t-il de sièges en tout ? Solutions (pdf) Retour au haut de page

 

151. La Fête-Dieu  * ** Dans son orbite autour du soleil, la lune met environ 29 jours, 12 heures et 44 minutes pour effectuer un tour de la terre. C’est pourquoi, les pleines lunes se suivent dans un intervalle de 29 ou 30 jours. Tout ce qui suit concerne l’année 2014, en Suisse. Il y eut une pleine lune le dimanche 16 mars et la suivante arriva 30 jours plus tard. a) A quelle date survint la première pleine lune qui suivit celle du 16 mars et quel était le jour de la semaine ? La Fête-Dieu est une fête religieuse qui a toujours lieu 60 jours après Pâques. Quant à la date de Pâques, elle est fixée au premier dimanche après la pleine lune ayant lieu le jour de l’équinoxe de printemps (19, 20 ou 21 mars) ou aussitôt après l’équinoxe. b) A quelle date eut lieu la Fête-Dieu et quel était le jour de la semaine ? Solutions (pdf) Retour au haut de page

 

152. Les cyclopes  ***** Une île n’est habitée que par des cyclopes qui, comme chacun le sait, n’ont qu’un seul œil. Une malédiction fait que le jour où un cyclope peut déduire avec certitude la couleur de son œil, il meurt dans la nuit qui suit. Les cyclopes ne voient pas pendant la nuit et, durant la journée, ils n’ont aucun moyen de discerner la couleur de leur œil (pas de miroirs, pas de reflets, ...). Comme ils ne veulent pas faire mourir leurs semblables, ils ne parlent jamais de la couleur de l’œil de quiconque. Le matin du 1er janvier 2022, un missionnaire de passage, annonça aux 40 cyclopes vivant sur cette île que l’un d’eux, au moins, avait un œil bleu. Des cyclopes moururent dans la nuit du 9 au 10 janvier 2022. Combien de cyclopes n’avaient pas un œil bleu le 1er janvier 2022 ? Solution (pdf) Retour au haut de page

 

153. L'agence de tourisme  ** *** **** La directrice d’une agence de tourisme a l’habitude de noter brièvement divers projets d’activités. A différents moments de la journée, elle dépose des projets dans le casier de sa secrétaire, toujours au sommet de la pile et jamais plus d’un à la fois. La secrétaire, lorsqu’elle le souhaite, prend le projet qui est au sommet de la pile pour le mettre au propre. La secrétaire doit finir la mise au propre des projets dans la journée. Dans une journée, combien y a-t-il d’ordres différents de mise au propre des projets si la directrice a déposé : a) Trois projets dans l’ordre suivant : A, B et C ? b) Quatre projets dans l’ordre suivant : A, B, C et D ? c) Cinq projets dans l’ordre suivant : A, B, C, D et E ? Solutions (pdf) Retour au haut de page

 

154. Les triangles, losanges et trapèzes  ** *** **** La figure ci-dessous est faite de 9 triangles équilatéraux identiques. Dans cette figure, combien y a-t-il : a) De triangles ? b) De losanges ? c) De trapèzes ? Notes : les triangles n’ont pas forcément tous la même grandeur ; il en est de même pour les losanges et les trapèzes. Solutions (pdf) Retour au haut de page

 

155. Les barres chocolatées * ** *** **** A Chocovillage, on ne fabrique que des barres cylindriques identiques de chocolat. Lorsque des enfants en reçoivent, ils se les partagent entièrement de manière que tous en reçoivent exactement la même part, en nombre et en grandeur des morceaux. Les morceaux peuvent être placés n’importe comment lors de chaque coupe, mais ils ne peuvent être coupés que perpendiculairement à leur longueur. Une coupe peut partager plusieurs morceaux de chocolat. Combien de coupes, au minimum, sont nécessaires lorsque : a) Trois enfants reçoivent cinq barres de chocolat ? b) Six enfants reçoivent sept barres de chocolat ? c) Douze enfants reçoivent onze barres de chocolat ? d) Quarante enfants reçoivent trente-neuf barres de chocolat ? Solutions (pdf) Retour au haut de page

 

156. Les pronostics *** Une compétition de 100 mètres va mettre aux prises trois concurrentes : Anaïs, Brigitte et Charlène. Au jeu des pronostics organisés à cette occasion, chaque pronostiqueur dut estimer le rang des trois concurrentes, sans ex æquo. On constata qu’Anaïs fut donnée perdante à sept contre onze (7/11) et Brigitte à cinq contre un (5/1). A combien Charlène fut-elle donnée perdante ? (Donnez votre réponse sous forme de fraction irréductible). Note : si une concurrente est donnée perdante à neuf contre quatre, cela signifie que sur treize pronostiqueurs, neuf pensent que la victoire ne va pas revenir à cette concurrente. Solution (pdf) Retour au haut de page

 

157. Les boutons * ** *** **** ***** Avec 10 boutons, Jules a construit le triangle suivant qui contient 4 boutons par côté : En ne déplaçant qu’un minimum de boutons du triangle qu’il vient de construire, il a établi le triangle inversé suivant : Sachant que tous les triangles de cette énigme sont construits de la même manière, combien faut-il déplacer de boutons, au minimum, pour obtenir le triangle inversé d’un triangle contenant au départ : a) 3 boutons par côté  ? b) 5 boutons par côté  ? c) 8 boutons par côté ? d) 16 boutons par côté ? e) 999 boutons par côté ? Solutions (pdf) Retour au haut de page

 

158. L'établissement scolaire ** *** Voici diverses anecdotes tirées de la vie d’un établissement scolaire accueillant des jeunes de 5 à 15 ans : a) La somme des âges de trois sœurs est égale à 27 et leur produit donne 660. Quel est l’âge de la plus âgée des trois ? b) Valentine dispose d’une feuille rectangulaire de 16 cm sur 25 cm. Combien d’étiquettes rectangulaires de 3 cm sur 7 cm, chacune faite d’un seul morceau, peut-elle y découper, au maximum ? c) Dans une classe, tous les élèves ont le même âge sauf trois élèves qui ont 1 an de plus et un élève qui a 1 an de moins. Si on fait la somme des âges de tous les élèves, on obtient 211. Combien y a-t-il d’élèves dans cette classe ? d) Milann a voulu numéroter toutes les pages de son épais cahier, en commençant à la page 1. Pour cela, il a écrit deux fois plus de chiffres que le nombre de pages du livre. Combien ce cahier compte-t-il de pages ? e) Un professeur de math a trois enfants. Les aînés sont des jumeaux. Aujourd’hui, quand il additionne leurs âges, il obtient 35. Quand il faisait de même il y a huit ans, il trouvait 12. Actuellement, quel est le produit des âges des trois enfants ? f) Une boisson coûte 70 centimes au distributeur de l’école. L’appareil accepte uniquement des pièces de 5 centimes, 10 centimes, 20 centimes et 50 centimes. Combien y a-t-il de combinaisons différentes permettant d’acheter une boisson ? Note : mettre deux fois 10 centimes puis une fois 50 centimes n’est pas une combinaison différente que mettre une fois 50 centimes puis deux fois 10 centimes g) Pour organiser des activités sportives, 148 élèves ont dû répondre à un questionnaire. Il est alors possible d’affirmer que parmi eux, 140 savent jouer au basket, 115 savent skier, 132 savent nager et 98 savent patiner. Combien d’élèves, au moins, sont capables de pratiquer les quatre sports mentionnés ? Solutions (pdf) Retour au haut de page

 

159. Les pièces de monnaie  * ** *** **** ***** Albert et Benoît ont posé sur une table x de pièces de monnaie et vont ôter des pièces à tour de rôle. Albert qui joue toujours le premier doit enlever un nombre de pièces supérieur à 0, mais inférieur à x. Ensuite, chacun doit enlever au minimum une pièce, mais au maximum le double de pièces prises par son adversaire le coup précédent. Celui qui prend la dernière pièce gagne. Les deux joueurs jouent toujours parfaitement. Qui gagne, lorsque le nombre de pièces au départ est de : a) 2 pièces ? b) 3 pièces ? c) 4 pièces ? d) 5 pièces ? Albert et Benoît ont continué de jouer en disposant au départ chaque fois une pièce supplémentaire et se sont arrêtés à 8 pièces. e) De 2 à 8 pièces, quels ont été les nombres de pièces au départ qui ont permis à Benoît de gagner ? f) Il existe une stratégie parfaite pour ce jeu. Elle s’appuie sur le théorème de Zeckendorf (1901 – 1983) qui énonce ceci : Tout entier naturel plus grand que zéro peut s’écrire de manière unique comme la somme de nombres de Fibonacci non consécutifs. Enoncez cette stratégie. Solutions (pdf) Retour au haut de page

 

160. Les sabliers de Rayan  * ** *** **** Rayan possède deux sabliers, l’un de 5 minutes (petit sablier) et l’autre de 9 minutes (grand sablier). Il a réussi à mesurer 16 minutes uniquement au moyen de ces deux sabliers. Comment a-t-il fait si, une fois qu’il a commencé les manipulations : a) Lors de son premier essai, cela lui a pris 25 minutes ? b) Lors de son 2e essai, cela lui a pris 21 minutes ? c) Lors de son 3e essai, cela lui a pris 16 minutes ? Note : le temps de retournement d’un sablier est toujours considéré comme nul. Solutions (pdf) Retour au haut de page

 

161. Les vases  *** **** ***** Les dix vases ci-dessous sont fixés verticalement contre un mur. Chacun d’eux peut contenir 5,1 litres d’eau. Lorsqu’un vase est plein, son contenu déborde équitablement dans les deux vases situés juste en dessous ou dans une canalisation s’il n’y a plus de vases disponibles. Quelle quantité d'eau, au minimum, faut-il verser dans le 1er vase pour remplir complètement le 4e vase ? Même question pour les 5e, 7e et 8e vases. Solutions (pdf) Retour au haut de page

 

162. La rivière **** Julie est au point J et désire aller au point M. Les points J et M sont séparés par une rivière qui mesure 16,5 m de large. Elle va à pied jusqu’au bord de la rivière (point A) puis traverse la rivière à la nage en étant déportée de 8,8 m (distance de C à B) à cause du courant. A partir de là, elle va à pied jusqu’au point M. Quelle distance aurait-elle parcourue si elle avait pris le trajet le plus court possible ? Solution (pdf) Retour au haut de page

 

163. L'hôtel PRESIDENCE  ** A l'hôtel PRESIDENCE, les cinq clients présents jeudi, vendredi et samedi ont été installés le premier jour dans certaines chambres comme cela est indiqué dans le tableau ci-dessous dans lequel on trouve également les chambres qu’ils ont occupées le samedi. Les clients ont dû changer de chambre chaque jour de la même manière, en suivant les indications inscrites sur les portes. Sur la porte de la chambre 2, il était noté « Allez dans la chambre 5 ». a) Qu’était-il noté sur la porte de la chambre 5 ? b) Qui a occupé la chambre 1 le vendredi ? c) Complétez le plan d'occupation des chambres le vendredi. Solutions (pdf) Retour au haut de page

 

164. Quelques autoréférences  * ** *** a) Par quel nombre écrit en toutes lettres faut-il remplacer le A dans le cadre suivant pour que la phrase qu’il contient soit vraie ? b) Par quel nombre écrit en toutes lettres faut-il remplacer le B dans le cadre suivant pour que la phrase qu’il contient soit vraie ? c) Par quel nombre écrit en toutes lettres faut-il remplacer le C dans le cadre suivant pour que la phrase qu’il contient soit vraie ? d) Par quel chiffre faut-il remplacer les lettres w, x, y et z dans le cadre suivant pour que les phrases qui s’y trouvent soient vraies ? Solutions (pdf) Retour au haut de page

 

165. Le professeur  **  *** Notre professeur de maths aime nous titiller. Il n’a pas besoin de connaître les dates d’anniversaire des personnes présentes lors d’un événement pour établir des affirmations surprenantes. a) Un jour, notre professeur nous a affirmé que lors d’une séance de cinéma, il y avait au moins 4 personnes nées le même mois. Combien y avait-il de personnes à cette séance, au minimum ? b) Une autre fois, il nous a dit que lors d’une réunion, il ne pouvait pas être sûr qu’il y avait 3 personnes nées le même jour de la semaine. Combien y avait-il de personnes à cette réunion, au maximum ? c) Un autre jour, il affirma que dans une assemblée, il y avait forcément 5 personnes nées le même mois, mais qu’il ne pouvait pas être certain que 8 personnes étaient nées le même jour de la semaine. Combien y avait-il de personnes à cette assemblée ? Solutions (pdf) Retour au haut de page

 

166. Les sportifs  *** Après avoir effectué un entraînement de course à pied, Yvan, Stef, Jacot, Didier et Manu reviennent au vestiaire. Après la douche, pour faire une farce à leurs amies qui les attendent, chacun d’eux met le pull d’un de ses camarades et le pantalon d’un autre de ses camarades. Leurs amies constatent que Stef porte le pull de Manu et le pantalon de celui qui a pris le pull de Stef et le pantalon d’Yvan. Elles remarquent que Jacot porte le pull du coureur qui a pris celui de Didier. Qui a vêtu le pull de Didier ? Qui porte le pantalon de Manu ? Qui a mis le pull de Jacot ? Solutions (pdf) Retour au haut de page

 

167. Des polyèdres et un ballon  ** *** Un polyèdre est un solide dont toutes les faces sont des polygones (figures planes limitées uniquement par des segments). Un polyèdre est convexe si chaque segment joignant deux quelconques de ses points est entièrement inclus dans la portion d’espace qu’il délimite. Il ne possède donc pas de creux ou de cavités. a) Combien ce parallélépipède rectangle tronqué possède-t-il de faces, de sommets et d’arêtes ?   b) La base d’une pyramide est un pentagone régulier. Combien cette pyramide possède-t-elle de faces, de sommets et d’arêtes ? c) Le grand homme de science suisse Leonhard Euler (1707 – 1783) a établi une relation valable pour tous les polyèdres convexes. Si F = nombre de faces, S = nombre de sommets et A = nombre d’arêtes, alors F + S – A = x. Que vaut x ? d) Pour fabriquer un ballon de foot, une possibilité est de prendre un certain nombre de polygones en cuir, de les relier entre eux par des coutures, afin d’obtenir un polyèdre convexe hermétique. Une vessie de caoutchouc est mise à l’intérieur de cet objet qui peut être gonflé au moyen d’une valve, formant alors une sphère plus ou moins réussie. Imaginons six morceaux de cuir identiques de formes carrées, reliés entre eux pour former un cube. En gonflant ce cube, on obtiendrait un objet ressemblant vaguement à un ballon. Pendant de nombreuses années, les ballons de foot ont été fabriqués à partir de 20 hexagones réguliers et d’un certain nombre de pentagones réguliers. Chaque pentagone était entouré de 5 hexagones et chaque hexagone était entouré de 3 pentagones et de 3 hexagones, comme on peut le voir sur le ballon ci-dessous. - Quelle est la longueur totale des coutures, dans le cas où toutes les arêtes mesurent 4,2 cm ? - Avant de gonfler le ballon, nous avions un polyèdre convexe. Combien possédait-il de sommets ? Solutions (pdf) Retour au haut de page

 

168. Les amies espiègles  ** *** Estelle et Chloé sont fans d’énigmes mathématiques. a) Un jour, Estelle envoie à Chloé le message suivant : « Voici cinq nombres : 346, 905, 376, 845 et 305. Mon numéro fétiche est un nombre à trois chiffres et chacun des cinq nombres donnés comporte un et seul chiffre qui est positionné à la bonne place de mon numéro fétiche. » Quel est le numéro fétiche d’Estelle ? b) Quelques jours plus tard, Chloé envoie un mot à Estelle : « J’espère que tu pourras venir à mon anniversaire.  Voici huit nombres : 4358, 1026, 7944, 3817, 4659, 2751, 8903 et 5227. Le code d’entrée de mon immeuble a été changé, c’est un nombre à quatre chiffres et chacun des huit nombres donnés comporte un et un seul chiffre qui est positionné à la bonne place du code d’entrée de mon immeuble. » Quel est le code d’entrée de l’immeuble de Chloé ? Solutions (pdf) Retour au haut de page

 

169. Les déplacements des jetons  * ** *** Joël joue avec des grilles composées de cases carrées et comportant autant de lignes que de colonnes. Au départ, il place un jeton par case, à l’exception de la case du bas à droite qui est vide. Un jeton ne peut être déplacé que sur une case vide voisine, par un mouvement horizontal ou vertical. Un coup consiste à déplacer un jeton d’une case. En combien de coups, au minimum, peut-il amener le jeton qui est sur la case du haut à gauche, à la case vide du bas à droite, lorsqu’il joue avec une grille comportant : a) 3 lignes ? b) 4 lignes ? c) 5 lignes ? d) n lignes (n supérieur à 1) ? Solutions (pdf) Retour au haut de page

 

170. Les piles électriques  ** *** **** Grand-père est un farceur. Il a posé des boîtes sur une table et a mis dans chaque boîte un certain nombre de piles électriques toutes identiques parmi lesquelles se trouvent deux piles défectueuses. Il nous a mis à disposition une lampe de poche sans pile qui s’allume lorsque les deux piles qu’on y insère sont en bon état et il aimerait que l’on découvre les deux piles défectueuses de chaque boîte uniquement à l’aide de la lampe. Un test consiste à mettre deux piles dans la lampe. C’est aussi remplacer une pile par une autre. Combien faut-il effectuer de tests, au minimum et dans le pire des cas, pour trouver les piles défectueuses lorsque dans une boîte, il y a : a) 3 piles ? b) 4 piles ? c) 5 piles ? d) 6 piles ? e) 7 piles ? f) 8 piles ? g) 51 piles ? Pour trouver les deux piles défectueuses, il a fallu effectuer 59 tests. e) Combien y avait-il de piles dans la boîte ? Solutions (pdf) Retour au haut de page

 

171. Dédé joue avec des dés  * ** *** Dédé joue avec des dés traditionnels à six faces numérotées de 1 à 6 par des points noirs. La somme des nombres situés sur deux faces opposées est égale à 7. Tous les dés de Dédé sont identiques à celui de la photo ci-dessous. Par la suite, la somme des points de chaque face sera remplacée par un nombre. a) Dédé veut construire un dé supplémentaire avec un morceau de carton. Il a dessiné le patron (développement) de son dé comme on peut le voir ci-après. Quel nombre doit-il écrire sur les faces A, B et C ? b) Sur sa table en chêne, Dédé a construit une tour en mettant quatre dés les uns sur les autres de manière que ce soit impossible de voir les nombres sur les faces des dés qui se touchent. Il constate que le nombre inscrit sur la face supérieure de la tour est 2. Quelle est la somme des nombres inscrits sur les faces invisibles de cette tour ? c) Dédé range neuf dés dans une boîte transparente qui permet de poser parfaitement les neuf dés les uns à côté des autres comme on peut le voir sur le croquis ci-dessous. Une fois la boîte fermée convenablement, il peut la retourner dans tous les sens pour observer les dés. Combien de points pourra-t-il voir au maximum ? d) Dédé a disposé sur sa table quatre dés comme indiqué ci-dessous. Seuls les points des faces visibles ont été notés. Quelle est la somme des nombres inscrits sur les deux faces en contact avec la table sachant que deux faces portant le même nombre de points ne se touchent jamais ? Solutions (pdf) Retour au haut de page

 

172. Les quatre articles  **** Charline achète quatre petits articles dans une papeterie, dont une gomme à 1,25 euro. Elle remarque que le prix de chaque objet contient le chiffre 1. Le caissier lui dit : « Vous me devez 7,11 euros, je le sais car j’ai multiplié entre eux les prix de vos quatre articles. » Charline lui rappelle qu’il faut additionner les prix et non les multiplier. Le caissier, tout désolé, refait les calculs et lui annonce qu’elle doit tout de même 7,11 euros. Quel est le prix de chacun des trois autres articles ? Solutions (pdf) Retour au haut de page

 

173. Les robots  * ** *** **** Didier joue avec trois robots télécommandés (A, B et C) sur une piste circulaire mesurant 12 mètres. Quand il appuie sur le bouton « Départ », les robots se déplacent sur la piste à la vitesse de 1 mètre par minute. Lorsqu'un robot rencontre un autre robot, il opère immédiatement un demi-tour et continue à se déplacer. Note : par la suite, le mot écart désignera toujours une distance mesurée sur la piste. Didier a placé A au point 1, B au point 5 et C au point 8, comme indiqué sur le croquis ci-dessous où chaque écart entre deux points consécutifs vaut 1 mètre. Didier appuie sur « Départ ». Il constate que A part en direction du point 0, que B va vers le point 4 et que C se dirige vers le point 9. a) Sur quel point se trouvera A après 4 minutes ? b) Après combien de temps, au minimum, y aura-t-il 2 mètres d’écart entre B et C ? c) Après combien de temps, au minimum, chaque robot se retrouvera-il à la même place qu’au départ ? d) Sur quel point se trouvera C après 126 minutes ? Un moment plus tard, Didier programme ses robots pour qu’ils puissent, au départ, aller arbitrairement dans l’un ou l’autre sens. Il remet A au point 1, B au point 5 et C au point 8, puis il appuie sur « Départ ». e) Quel sera le plus grand écart entre deux robots consécutifs après 90 minutes de déplacement ? Solutions (pdf) Retour au haut de page

 

174. Les puzzles de Timi  *** **** Timi a trouvé deux puzzles dont les pièces sont carrées et les images finales rectangulaires. a) Le premier d’entre eux est constitués de 9 pièces dont les côtés respectifs valent, en centimètres, 1, 4, 7, 8, 9, 10, 14, 15 et 18. La notice de ce puzzle précise que la pièce de 18 cm de côté touche celle de 4 cm de côté, conformément au croquis ci-dessous.. Quelles sont les dimensions de ce puzzle ? Quelle est l’aire totale des pièces qui touchent la pièce de 1 cm de côté ? b) Voici le croquis de son second puzzle. Il est aussi composé de 9 pièces. La plus petite (celle qui est grisée) mesure 2 cm de côté. Quelle est l’aire de ce puzzle ? Solutions (pdf) Retour au haut de page

 

175. Les montres des jumeaux  ** *** Les jumeaux Alain et Alex Térieur sont des passionnés d’énigmes mathématiques et il n’est pas rare qu’ils se testent. a) Un jour, Alain donne le message suivant à son frère : « Ce matin, en regardant ma montre, j’ai eu l’idée de recopier schématiquement ce que j’ai vu, en gardant les mêmes positions des aiguilles, mais en les dessinant de sorte qu’elles aient toutes la même longueur. Quelle heure indiquait ma montre ? » b) Le même jour, Alex répond à Alain : « J’ai résolu ton énigme. Je vois que tu n’as pas grand-chose à faire. Alors, cet après-midi, j’ai procédé comme toi, mais en plus j’ai fait pivoter ma montre. Alors, grand malin, quelle heure était-il à ma montre sachant que deux aiguilles pointent exactement sur des heures entières ? » Solutions (pdf) Retour au haut de page

 

176. Les champignons ** *** Lors de la cueillette, les champignons contiennent 90 % d’eau. Appelons masse sèche, tout ce qui n’est pas de l’eau. L’eau s’évapore progressivement au cours du séchage. Céline et ses deux filles Louise et Julie vont régulièrement cueillir des champignons. a) Le 8 juillet, Céline a récolté 250 grammes de champignons.     Quelle quantité d’eau contenaient ces champignons ? b) Une fois complètement séchés, les champignons cueillis par Louise le 11 juillet pesaient 60 grammes.     Quelle quantité d’eau s’est évaporée durant le séchage ?     Quelle quantité de champignons avait-elle cueillis ? c) Le 18 juillet, Julie a ramassé une belle quantité de champignons. Après un certain temps de séchage, les champignons pesaient 2 kg de moins et contenaient encore 40 % d’eau.     Quelle quantité de champignons avait été ramassés par Julie ? Solutions (pdf) Retour au haut de page

 

177. Les héritages  ** *** **** a)  Un homme célibataire est décédé en laissant un héritage de 6300 francs. Son testament indique que sa sœur doit recevoir le sixième de l’héritage et que le reste doit revenir à son filleul et à sa filleule de sorte que sa filleule reçoive le double de son filleul. Quel montant va revenir à sa filleule ? b)  Le nombre d’enfants de Roger peut être compté sur les doigts d’une main. Un jour, il donna en avance d’héritage à chacun d’eux un septième de sa fortune plus 3333 francs. Chacun reçut un nombre entier de francs. Quelle est la fortune de Roger ? Combien a-t-il d’enfants ? c)  Un homme mourant laisse sa femme enceinte et 129'000 francs Il ordonne par son testament que si sa femme accouche d’une fille, celle-ci en aura les 5/9 et sa femme le reste et que si elle accouche d’une garçon, celui-ci aura les 4/7 et sa femme le reste. Sa femme accoucha d’une fille et d’un garçon. Dans ce cas, la loi précise que les proportions indiquées dans le testament entre la mère et chacun de ses enfants doivent être respectées. Quel montant reçut la mère et quel montant reçut la fille ? Solutions (pdf) Retour au haut de page

 

178. Les chiffres avec des bâtonnets  * ** Les chiffres qu’affichent les calculatrices sont formés de bâtonnets comme on peut le voir ci-dessous. Dans cette énigme, tous les chiffres doivent être écrits avec des bâtonnets, selon le modèle donné ci-dessus. Les signes des opérations sont aussi construits avec des bâtonnets. a) L’opération suivante peut devenir correcte en enlevant un seul bâtonnet. Quelle est l’opération correcte ? b)  L’opération suivante peut devenir correcte en déplaçant un seul bâtonnet. Il y a deux possibilités. Quelles sont les deux opérations correctes ? c) Le nombre 408 écrit ci-dessous peut devenir un multiple de neuf en enlevant seulement deux bâtonnets. Il y a deux possibilités. Quels sont les deux multiples de neuf cherchés ? d) L’opération suivante peut devenir correcte en enlevant seulement deux bâtonnets. Quelle est l'opération  correcte ? Solutions (pdf) Retour au haut de page