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      Enigmes mathématiques et logiques
                         
                                                         
                                                   
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Divertissements mathématiques et logiques

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Cette rubrique vous propose chaque mois un divertissement mathématique et logique de difficultés variables et de nature très diverse.

Dans bon nombre d'exercices, vous serez amenés à répondre à un certain nombre de questions présentées dans un ordre de difficultés croissantes. La résolution des questions les plus faciles vous mettra en confiance, et vous encouragera à tenter de répondre aux questions plus complexes.

50 exercices de cette rubrique ont été réunis dans un recueil, au format A5 (100 pages). C'est un ouvrage relié par des anneaux métalliques. La liste des 50 exercices est donnée ici (pdf). Ce recueil peut être commandé par courrier électronique ici directement auprès d'Augustin Genoud ou par téléphone au 079 484 85 43, paiement de 23 CHF (frais d'envoi compris) à la réception du recueil. Coordonnées bancaires ici (pdf).

Les * indiquent la difficulté des énigmes. Plus il y en a, plus elles sont difficiles.

Les amateurs de compétitions de jeux mathématiques et logiques doivent absolument s'intéresser aux exercices signalés par un point d'exclamation !

Vous trouvez ici (pdf) quelques notes et définitions destinées essentiellement à ceux dont l'école n'est plus qu'un lointain souvenir.


1. Les nombres triangulaires ! *

Comme le montre la figure suivante, avec 10 boules, je peux former un triangle. C'est aussi le cas avec 3 boules et 6 boules. Les mathématiciens disent que 1 est aussi un nombre triangulaire. 1, 3, 6 et 10 sont donc des nombres triangulaires.

Est-ce que 55 et 90 sont des nombres triangulaires ?

Question subsidiaire : comment repérer un nombre triangulaire sans construire le triangle ?

En tapant "nombre triangulaire" dans un moteur de recherche, vous trouverez plein d'autres informations sur ces nombres.

Solution (pdf)


 


2. Les lapins ! **

L’énigme suivante est très connue. Elle a contribué à la célébrité de son auteur, l’un des plus célèbres mathématiciens de l’histoire : Leonardo Fibonacci qui vécut approximativement entre 1175 et 1240.

Un homme a placé en janvier, dès leur naissance, un couple (ici un couple représente toujours un mâle et une femelle) de lapins dans un pâturage entouré d’un haut mur. Il cherchait à savoir combien il y aurait de couples de lapins plus tard dans ce pâturage. Il faut savoir qu’un couple de lapins engendre toujours (ce sont des conditions exceptionnelles) un autre couple de lapins chaque mois, mais seulement à partir du 2ème mois suivant leur naissance. Ainsi, un couple de lapins nés en janvier engendrera un autre couple en mars, puis un autre en avril, puis un autre en mai, etc.

1. Combien y aura-t-il de couples de lapins dans ce pâturage à la fin mars ?

2. Combien y aura-t-il de couples de lapins dans ce pâturage à la fin avril ?

3. Combien y aura-t-il de couples de lapins dans ce pâturage à la fin mai ?

4. Combien y aura-t-il de couples de lapins dans ce pâturage à la fin juillet ?

5. Combien y aura-t-il de couples de lapins dans ce pâturage à la fin décembre ?

6. Considérez le mois de janvier comme le mois 0, le mois de février comme le mois 1, le mois de mars comme le mois 2, le mois d’avril comme le mois 3, etc. Pour chaque numéro de mois, donnez le nombre de couples de lapins se trouvant dans ce pâturage à la fin de chaque mois. Vous remarquerez peut-être qu’il existe un procédé permettant de calculer rapidement, à partir du 3ème mois, le nombre total de couples se trouvant à la fin de chaque mois dans ce pâturage.

Solutions (pdf)

 


3. Les carrés magique  **   ***

Soit un carré composé lui-même d’un certain nombre de cases carrées ayant toutes la même grandeur. Ce carré est dit magique, lorsqu’après avoir mis un seul nombre dans chacune des cases, la somme des nombres de chaque ligne (horizontale), de chaque colonne (verticale) et des deux diagonales (principales) est toujours la même. Cette somme est appelée densité.

Un carré magique est dit normal lorsque les nombres qui le composent sont des nombres entiers positifs consécutifs commençant par 1.

L’ordre d’un carré magique est le nombre de lignes (ou de colonnes) qui le composent. Un carré magique d’ordre 3 contient forcément 9 nombres.

Dans les exercices qui suivent, il est conseillé de vérifier les solutions après chaque exercice.

1.
Quelle est la densité d’un carré magique normal d’ordre 3 ? Construis-en un.
2.

Construis un carré magique d’ordre 3 ne contenant que des nombres pairs allant de 10 à 26.
3.
Ce carré magique normal d’ordre 4 est étonnant. Pourquoi ?
 

1

12

7

14

15

6

9

4

10

3

16

5

8

13

2

11

4.

Construis deux carrés magiques d’ordre 4 composés de nombres entiers positifs multiples de 5 dont le plus petit est 5.
5.
Quelle est la densité d’un carré magique normal d’ordre 5 ? Construis-en un.
6.

Quelle est la densité d’un carré magique contenant 81 nombres impairs consécutifs dont le plus petit est 13 ?

Solutions (pdf)

 


4. La chèvre
****

Voici un problème très connu et assez difficile : une chèvre est attachée par une corde à un pieu fixé en un point de la circonférence d’un pré circulaire de 10 m de rayon. Pour quelle longueur de corde, la chèvre pourra-t-elle brouter la moitié de l’herbe du pré ?

Solution (pdf)

 


5. Le tableau **

Denis veut colorier le tableau ci-dessous de telle sorte que deux plages voisines (non limitées à un point) n'aient jamais la même couleur. Combien de couleurs doit-il utiliser, au minimum ?

Cette tableau comporte 16 plages. La réponse serait-elle la même pour un tableau ayant beaucoup plus de plages ?

Solutions (pdf)

 


6. Le nombre démultiplié ***

Soit un nombre de 2 chiffres (ab). Pourquoi tout nombre de 2 chiffres multiplié successivement par 3, 7, 13 et 37 donne ababab ?

Autrement dit, pourquoi ab x 3 x 7 x 13 x 37 = ababab ?

Exemple: 85 x 3 x 7 x 13 x 37 = 858'585.

Solution
(pdf)

 


7. Les engrenages ! **
***

Par un engrenage constitué de deux roues dentées, on peut relier deux axes parallèles de manière que leurs vitesses de rotation soient dans un rapport donné. Ce rapport est égal à l’inverse du rapport des nombres de dents des deux roues. Une des roues est dite motrice (commandée par exemple par un moteur) et l’autre est appelée roue réceptrice.
Une roue motrice de 36 dents tourne à la vitesse de 600 tours/minute dans le sens des aiguilles d’une montre, et entraîne une roue réceptrice.

a) Quel est le sens de rotation de la roue réceptrice ?

b) Quelle est la vitesse de rotation d’une roue réceptrice de 72 dents ?

c) Quelle est la vitesse de rotation d’une roue réceptrice de 27 dents ?

d) Quel est le nombre de dents d’une roue réceptrice qui tourne à la vitesse de 480 tours/minute ?

Dans le schéma suivant, les dents des engrenages ne sont pas représentées. La première roue (celle le plus à gauche) est la roue motrice. Elle tourne dans le sens inverse des aiguilles d’une montre, à la vitesse de 180 tours/minute. Les nombres de dents sont indiqués à l’intérieur de chacune des roues.

e) Quel est le sens de rotation de la dernière roue ?

f) Quelle est la vitesse de rotation de la dernière roue ?

Solutions (pdf)

 


8. Les joueurs de cartes
***

Jules et Marc jouent aux cartes avec un jeu traditionnel de jass à 36 cartes. Les règles de leur jeu sont assez étranges mais donnent parfois lieu à des situations étonnantes : l’atout est tiré au sort avant chaque distribution de cartes, les annonces ne comptent pas et chose la plus étrange, chacun voit, en plus de ses cartes, les cartes de son adversaire.

Marc vient de distribuer les cartes et c’est cœur qui est atout.

Jules a 5 cœurs (6, 7, 8, nell et dame), 2 trèfles (9 et as) et 2 piques (8 et as).

Marc a 4 cœurs (10, bour, roi et as) et 5 carreaux (6, 7, 8, 9 et valet).

Rappel : les 6, 7, 8 et 9 valent 0 point sauf le 9 d’atout (nell) qui vaut 14 points. Les valets valent 2 points sauf le valet d’atout (bour) qui vaut 20 points. Les 10, dames, rois et as valent respectivement 10, 3, 4 et 11 points. Celui qui gagne le dernier pli reçoit 5 points supplémentaires.

C’est Jules qui doit commencer. Combien de points peut-il espérer faire au maximum sachant que Marc veut aussi en faire un maximum ? Quelle est la première carte que doit jouer Jules ?

Solution (pdf)

 


9. Tour de "magie mathématique"  *

Voici un petit tour de magie facile à réaliser et qui va impressionner vos amis. Vous pouvez aussi, une fois le tour découvert, rechercher comment ça marche.

Pour réaliser le tour, c'est ici (pdf)

 


10. Les heures de l'horloge *   **   ***

Pour noter les nombres représentant les heures de son horloge, Jules n'a employé pour chaque heure (de 1 à 12) que le chiffre 9, utilisé trois fois. De plus, il n’a eu besoin que des 4 signes d’opérations de base (+, ‑, x, :) ainsi que du signe de la racine carrée et de celui de la factorielle.

Pour ceux dont l’école n’est plus qu’un lointain souvenir, rappelons que a! (on prononce a factorielle) = a (a - 1) (a - 2) (a - 3)...... x 1. Ainsi, 5! = 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 120.

Par exemple, pour 2 heures, il a noté (9+9) : 9. Comment a-t-il fait pour les autres heures, sachant qu’aucun calcul ne nécessite l’utilisation d’une calculette ?

Solution (pdf)


 


11. Le cadenas
**

J'habite en Suisse et j'aimerais envoyer un cadeau à un ami qui habite Ivoltou, dans un pays lointain. Dans ce pays, chacun sait que les postiers sont indélicats. Ils dérobent systématiquement le contenu des paquets qui ne sont pas cadenassés. C'est pourquoi, chaque habitant d'Ivoltou a son propre cadenas et sa propre clé. Comment dois-je m'y prendre pour que mon cadeau arrive à destination sans être volé ?

Solution (pdf)

 


12. L'aire du polygone *

Le quadrillage ci-dessous est formé de carrés de 1 cm de côté. Les points A, B, C, D, E et F appartiennent à des croisements de ce quadrillage. Quelle est l’aire du polygone (hexagone non régulier) ABCDEF ?

Note : ce petit exercice a pour but de vous faire découvrir le théorème de Pick.

Solution (pdf)


 


13. Les cryptarithmes ! *  **   ***

On appelle cryptarithme (ou cryptogramme) une opération mathématique dans laquelle certains chiffres (pas forcément tous) ont été remplacés par des lettres. Chaque lettre différente représente un chiffre différent et chaque chiffre est représenté par la même lettre. Un nombre ne peut évidemment pas commencer par zéro. Les e, é, è et ê sont considérés comme une même lettre.

Exemple : AB5B représente un nombre de 4 chiffres qui peut valoir 1252 ou 3858 ou 5454 etc. Il ne peut pas valoir 9357 car dans ce cas B vaudrait 3 et 7.

Il existe une multitude d’énigmes de ce genre. Souvent, il est nécessaire de faire de nombreux essais pour les résoudre. Les cryptarithmes les plus intéressants sont ceux qui peuvent être résolus par raisonnement, au moins en grande partie. Ce sont ceux-là qui nous intéressent ici. Un côté amusant s’ajoute au problème lorsque les lettres d’un cryptarithme forment des mots ayant un sens.

Rappel : il n’existe que 10 chiffres (0, 1, 2, 3, 4, 5, 5, 7, 8, et 9) avec lesquels on peut écrire une infinité de nombres.

Voici six cryptarithmes présentés dans un ordre croissant de difficultés :

a) 24  .  AA = BAD. Quel nombre représente BAD  ? (il s'agit bien de 24 fois AA)

b) BA + BA + BA = ABC. Quel nombre représente BA ?

c) LUI + LUI = EUX. Quel est le plus petit nombre représentant EUX  ? Quel est le plus grand nombre représentant EUX  ?

d) ANNA + RENE = AMOUR. Quels nombres représente RENE ?

e) EUX  : 7 = LUI. Quels nombres représente LUI ?

f) SUISSE + SUEDE = BRESIL. Quels nombres représente SUISSE ?

Aux questions d, e et f, il est écrit « quels nombres ». Cela laisse supposer qu’il peut y avoir plusieurs solutions. Si c’est le cas, il faut les trouver toutes.

Solutions (pdf)

 


14. Les nombres par ordre alphabétique
**

Supposons que l'on ait écrit tous les nombres entiers en toutes lettres. Rangeons-les maintenant par ordre alphabétique. Quel est le premier de notre liste ? Quel est le deuxième ? Quel est le premier qui est impair ?

Note : 1 million, c’est 1 suivi de 6 zéros ; 1 milliard, c’est 1 suivi de 9 zéros ; 1 billion, c’est 1 suivi de 12 zéros ; 1 billiard, c’est 1 suivi de 15 zéros ; 1 trillion, c’est 1 suivi de 18 zéros.

Solution (pdf)

 


15. Les nombres premiers  **

Observez le tableau suivant. Dites comment il a été construit.

Ce tableau peut être agrandi à l’infini. Recopiez-le et complétez les cases vides.

4
7
10
13
16
19
           
7
12
17
22
27
32
           
10
17
24
31
38
45
           
13
22
31
40
49
58
           
16
27
38
49
60
71
           
19
32
45
58
71
84
           
                       

Une fois le tableau complété, faites la liste, dans l’ordre croissant, de tous les nombres entiers naturels positifs inférieurs à 50 qui ne pourraient pas être dans ce tableau supposé complété à l’infini. Appelons A, cette liste.

Prenez chacun des nombres de la liste A (dans l’ordre croissant), multipliez-le par 2 et ajoutez 1 au résultat. Vous obtiendrez une nouvelle liste de nombres que nous appellerons liste B.

Que représente cette liste B ?

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16. Tour de "magie mathématique"  ***

Demandez à quelqu’un de choisir trois nombres sans qu’il vous les dise. Demandez-lui de faire la somme du 1er et du 2ème, puis du 1er et du 3ème et enfin celle du 2ème et du 3ème. Réclamez-lui ces trois sommes, dans n’importe quel ordre. A partir de là, comme par magie, vous allez retrouver les trois nombres choisis au départ. Comment avez-vous fait ?

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17. Le vélo  **

 

Le pédalier est la partie du vélo qui convertit le mouvement alternatif des jambes en un mouvement de rotation.

Le pédalier est formé de deux pédales et de deux ou trois plateaux de différents diamètres, lesquels sont munis de dents.

La cassette est un ensemble de roues dentées appelées pignons. La cassette est liée à la roue arrière, dite roue motrice. La roue avant est la roue libre.

Le pédalier et la cassette sont reliés par une chaîne. Le dérailleur du pédalier permet de déplacer la chaîne sur le plateau et le dérailleur de la cassette permet de déplacer la chaîne sur les pignons. Les cyclistes parlent de changement de vitesse lorsqu’ils déplacent la chaîne.

Le braquet est la combinaison entre le nombre de dents sur les plateaux et le nombre de dents sur les pignons. Si le vélo a 3 plateaux et 7 pignons, on dit que le vélo a 21 vitesses ou 21 braquets (ou encore 21 rapports).

Le développement est la distance parcourue par le vélo en 1 tour de pédalier.

Si la chaîne est sur un plateau de 48 dents et sur un pignon de 16 dents, alors, chaque tour du pédalier entraîne 3 rotations (braquet = 48/16 = 3) du pignon, et aussi 3 tours de la roue motrice. Dans ce cas, le développement est le produit de la circonférence de la roue par 3.

Il est évident que plus la pente est grande, plus il faudra utiliser de petits développements.

Sachant qu’un vélo a des roues de 70 cm de diamètre, calculez, en prenant 3,14 comme valeur du nombre pi :

1. La circonférence des roues de ce vélo.

2. Le développement de ce vélo lorsque la chaîne est sur le plateau de 48 dents et sur le pignon de 16 dents.

3. Le développement de ce vélo lorsque la chaîne est sur le plateau de 34 dents et sur le pignon de 21 dents.

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18. Un nombre très recherché  **

A l’aide d’une calculette, effectuez les opérations suivantes et donnez vos réponses en nombres décimaux arrondis au centième près. En continuant indéfiniment ce même type d’opérations dont la suite est facile à déduire, on obtient un nombre qui a été recherché pendant très longtemps. Quel est ce nombre illustre ?

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19. Le collier  **

Découpez un morceau de papier pour en faire un carré d’environ 10 cm de côté. A l’aide d’une paire de ciseaux, faites-en ensuite un collier suffisamment grand pour qu’il puisse passer autour de votre tête. Le collier doit être fermé (d’un seul tenant) et il est interdit de coller des morceaux. Prenez le temps de la réflexion avant d’aller voir les deux solutions données.

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20. Le système proportionnel  ***   ****

Voici deux problèmes apparemment très proches :

Six personnes (A, B, C, D, E et F) doivent se partager 9 kilos d’or. Combien chacune va-t-elle recevoir de grammes d’or sachant que A, B, C, D, E et F ont droit respectivement à 8002 parts, 4698 parts, 3651 parts, 2612 parts, 1790 parts et 1603 parts (on arrondira les parts d'or au gramme près) ?

Neuf sièges doivent être attribués entre six partis A, B, C, D, E et F. Combien chaque parti va-t-il obtenir de sièges sachant qu’ils ont obtenu respectivement 8002 suffrages, 4698 suffrages, 3651 suffrages, 2612 suffrages, 1790 suffrages et 1603 suffrages et que la répartition des sièges se fait au système proportionnel (on ne tient pas compte du fait que, parfois, les partis n’ayant pas obtenu un pourcentage minimal de suffrages sont exclus de la répartition des sièges) ?

Le premier problème devrait pouvoir être résolu sans trop de difficultés. Le second est très embarrassant. Il peut vous amener vers de longues réflexions à la fois mathématiques et philosophiques.

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21. Le carbone 14   ***

Dans notre atmosphère, il y a trois types d’atomes de carbone : le carbone 12, le carbone 13, et le carbone 14.

Les organismes vivants (animaux et végétaux) participent au cycle du carbone. Ils l’absorbent et l’assimilent. Tant qu’ils sont vivants, les organismes contiennent une proportion constante de carbone 14 par rapport à la quantité totale de carbone qu’ils contiennent. Dans le carbone absorbé, il n’y a qu’une très faible quantité de carbone 14. Plus précisément, 12 grammes de carbone contiennent  6,022 x 1023 atomes, lesquels renferment 5 x 1011 atomes de carbone 14. La quantité de carbone 14 est donc environ mille milliards de fois plus petite que la quantité de carbone.

Lorsque qu’un organisme meurt, les échanges avec l’atmosphère cessent. La quantité de carbone 12 et de carbone 13 ne varie plus, tandis que le carbone 14 va se désintégrer petit à petit (on dit qu’il est instable) selon une loi exponentielle. La moitié du carbone 14 se désintègre en 5730 années. La moitié du reste se désintègre à nouveau en 5730 années. La moitié du reste mettra encore 5730 années pour se désintégrer, etc. On dit que le carbone 14 a une demi-vie de 5730 ans.

Pour estimer l’âge d’un organisme d’origine animale ou végétale, il suffit d’évaluer le nombre d’atomes de carbone 14 restants dans 12 grammes de carbone prélevés sur cet organisme. Pour des échantillons plus petits, on préfère étudier le rapport entre la quantité de carbone 14 et la quantité totale de carbone.

La marge d’erreur de la demi-vie du carbone 14 est de 40 ans, et la méthode de datation avec le carbone 14 n’est plus fiable au-delà de 50'000 ans.

a) On considère un échantillon prélevé sur un organisme d’origine végétale contenant aujourd'hui 1,024 grammes de carbone 14. Combien restera-t-il de carbone 14 dans 5730 ans ? Combien restera-t-il de carbone 14 dans 22'920 ans ? Au bout de combien d’années, l’échantillon ne contiendra-t-il plus qu’un cent vingt-huitième de la quantité actuelle de carbone 14 ?

b) En 2013, on a trouvé un squelette humain dont un bout d’os contenait 12 grammes de carbone renfermant 6,25 x 1010 atomes de carbone 14. A quelle époque cette personne vivait-elle ?

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22. Les carats  *

Plusieurs métaux fondus ensemble constituent un alliage.

Exemples de métaux purs : or, argent, platine, cuivre, étain, plomb, zinc, aluminium, fer, titane.

Exemples d’alliages : bronze, laiton, inox, fonte.

Pour diverse raisons (dureté, couleur…), les bijoux dits en or ne sont jamais faits uniquement d’or. Par exemple, un bijou en or jaune est un alliage composé d’or pur, d’argent et de cuivre.

Pour les bijoutiers, le carat indique la masse d’or pur (en grammes) contenue dans 24 grammes d’alliage. Plus le carat est élevé, plus l’alliage est pur. Attention, le carat est aussi une unité de masse utilisée par les joailliers. Il correspond à 0,20 gramme.

Marie possède un bijou de 16 grammes contenant 12 grammes d’or pur. De combien de carats est son bijou ?

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23. Les triplets de Pythagore  **

a) Construis en vraie grandeur un triangle de dimensions 4,5 cm, 6 cm et 7,5 cm. A quoi ressemble-t-il ?

b) Soit m = 4,52, n = 62 et p = 7,52. Calculez m, n et p (réponses en nombres décimaux). Effectuez m + n. Que constatez-vous ?

c) On appelle triplet de Pythagore, un ensemble de trois nombres entiers naturels (a, b, c) liés par la relation a2 + b2 = c2. Ce triplet est appelé primitif si a, b, et c sont premiers entre eux.

Par définition, deux ou plusieurs nombres sont dits premiers entre eux si et seulement si leur plus grand diviseur commun (PGDC) est 1.

Il existe une infinité de triplets primitifs de Pythagore, et il est facile de les trouver par la méthode attribuée au mathématicien Diophante qui vécut à Alexandrie au début de notre ère :

Soit d et e, deux nombres entiers positifs, premiers entre eux, de parité différente (ils ne peuvent pas être tous les deux pairs ou tous les deux impairs), avec d < e. Les triplets cherchés sont obtenus de la manière suivante : (e2 – d2, 2ed, e 2 + d 2).

Quels sont les triplets primitifs obtenus à partir des couples suivants qui représentent d et e :

c1) 1 et 2.
c2) 1 et 4.
c3) 2 et 3.
c4) 3 et 8.
c5) 5 et 6.

Il existe de nombreuses propriétés appartenant aux triplets primitifs.

c6) Que peut-on dire des nombres pairs dans les triplets primitifs ?
c7) Que peut-on dire des multiples de 5 dans les triplets primitifs ?

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24. Le nombre d'or  ***

Dessine un segment AC et un point B sur ce segment, placé quelque part entre A et C.

Mesure de AB = 1. Mesure de BC = x.

Si AB/BC = BC/AC, quelle est la mesure de x ?

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25. Coincez la reine !  ***    ****

Anne et Berthe ont dessiné un quadrillage contenant 196 cases carrées (en plus de celles contenant les coordonnées) comme indiqué ci-dessous. Chaque case peut être repérée par ses coordonnées, le premier nombre indiquant sa position horizontale et le second sa position verticale. Par exemple, la case x est repérée par (13, 10).

Anne et Berthe jouent au jeu suivant : elles posent une reine sur une des 196 cases. Ensuite, elles la déplacent à tour de rôle. La reine peut se déplacer soit horizontalement vers la gauche, soit verticalement vers le bas, soit diagonalement vers le bas à gauche, et ce, d’autant de cases voulues. La première joueuse qui atteint la case (0, 0) gagne. Autrement dit, la première qui ne peut plus jouer a perdu.


13
                           
12
                           
11
                           
10
                         
x
9
                           
8
                           
7
                           
6
                           
5
                           
4
                           
3
                           
2
                           
1
                           
0
                           
 
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13

Dans les parties suivantes (a à e), c’est toujours Anne qui commence.

a. Dans cette première partie, au départ, la reine est à la case (1, 3). Comment Anne doit-elle jouer son premier coup pour être sûre de gagner ?

b. Dans la deuxième partie, au départ, la reine est à la case (6, 4). Comment Anne doit-elle jouer son premier coup pour être sûre de gagner ?

c. Dans la troisième partie, au départ, la reine est à la case (7, 9). Comment Anne doit-elle jouer son premier coup pour être sûre de gagner ?

d. Dans la quatrième partie, au départ, la reine est à la case (6, 10). Comment Anne doit-elle jouer son premier coup pour être sûre de gagner ?

e. Dans ce jeu, il existe ce que l’on appelle des mauvaises cases. Une mauvaise case est une case qui ne permettra jamais de gagner à celle qui doit jouer alors que la reine est sur cette case, à condition que son adversaire joue correctement les coups suivants. Ce jeu fait partie des jeux de Nim auxquels j’ai consacré un chapitre dans mon livre « Les Clefs des Enigmes Mathématiques ». Ces mauvaises cases, appelons-les positions perdantes.

Par convention, on parlera de positions perdantes ou gagnantes, par rapport à la personne à qui c’est le tour de jouer, alors que la reine est dans cette position. L’étude des jeux de Nim montre que celui qui a mis son adversaire dans une position perdante est assuré de gagner s’il joue correctement par la suite. Une position perdante ne peut conduire qu’à une position gagnante. Une position gagnante peut toujours conduire à une position perdante et peut parfois conduire à une position gagnante.

Dans ce jeu, quelles sont les positions perdantes parmi les 196 cases ? Si vous deviez jouer à « Coincez la reine » sur un quadrillage infini, vous serait-il possible de trouver toutes les positions perdantes ?

f. Il existe un lien entre les positions perdantes de ce jeu et le nombre d’or vu dans l’exercice 24 de cette même rubrique. Pour rappel, le nombre d'or est un nombre illimité non périodique valant approximativement 1,61803398. Quel est ce lien ?

Solutions (pdf)

 


26. Le tournoi d'échecs  **    ***

Lors d’un tournoi d’échecs, chaque concurrent se voit attribuer un numéro (1, 2, 3, 4, 5, 6, etc.) et doit jouer une seule fois contre chacun de ses adversaires. On désire organiser le tournoi de sorte que tous les joueurs puissent jouer en même temps. Ainsi, s’il y a 4 joueurs, on peut organiser les parties de la façon suivante :

1) 1 - 2, 3 - 4 (le joueur 1 joue contre le 2 et le 3 contre le 4).
2) 1 - 3, 2 - 4
3) 1 - 4, 2 - 3

Avec 4 joueurs, il y a 6 parties et 3 rondes.

a) Pour 6 joueurs, combien faut-il de rondes et de parties ? Comment organiser les parties ?

b) Pour 8 joueurs, combien faut-il de rondes et de parties ? Comment organiser les parties ?

c) Pour 10 joueurs, combien faut-il de rondes et de parties ? Comment organiser les parties ?


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27. Le panneau triangulaire  **    ***

Le panneau triangulaire (MNP) suivant a été posé à l’entrée d’une immense exposition.

a) Calculez la valeur numérique demandée

b) Quelle est l'aire du panneau ?

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28. Les formats A  ***

Une grande feuille rectangulaire mesure x mm de long et y mm de large. Appelons-la A0. On la partage en deux rectangles identiques de manière à ce que les nouvelles feuilles obtenues aient y mm de long. On veut donc que la longueur des deux nouvelles feuilles soit égale à la largeur de la feuille A0. Chacune de ces nouvelles feuilles est appelée A1. On souhaite également que le rapport (r) longueur sur largeur des feuilles A0 et A1 soit identique.

a) Que vaut le rapport r ?

Une des feuilles A1 est partagée en deux feuilles rectangulaires identiques appelées chacune A2 de manière à ce que la longueur d’une feuille A2 soit égale à la largeur de la feuille A1.

b) Que vaut le rapport longueur sur largeur d’une feuille A2 ?

En partageant une feuille A2 en deux feuilles identiques comme on l’a fait pour A0 et A1 (chaque nouvelle feuille a une longueur qui correspond à la largeur de la feuille précédente), on obtient deux feuilles appelées A3. En continuant de la même manière, on obtient des feuilles nommées A4, puis A5, puis A6, etc.

c) Selon la norme internationale ISO 216, les feuilles de format A sont basées sur une feuille de format A0 qui a une aire d’1 m2. Quelles sont les dimensions, au mm près, d’une feuille de format A0 ?

d) Quelles sont, approximativement, les dimensions des feuilles de format A1, A2, A3, A4 et A5 ?

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29. Les radians  **  ***

Un arc de cercle est une partie d'un cercle comprise entre deux points.

Dans le croquis suivant, O est le centre du cercle. L'arc de cercle L2 d'extrémités C et D est appelé arc de cercle intercepté par l'angle de 90 degrés. L1 est l’arc de cercle d'extrémités A et B.

Le rayon OA mesure 1 cm, et le rayon OC 2 cm.

a) Calculez L1 divisé par son rayon.
b) Calculez L2 divisé par son rayon.
c) L3 est un arc de cercle correspondant à un angle de 90° et à un rayon R. Calculez L3 divisé par son rayon.
d) Que remarquez-vous en comparant les réponses de a, b et c. Est-ce étonnant ?
e) Calculez le périmètre d’un cercle de rayon R divisé par son rayon.

Dans le croquis suivant, O est le centre du cercle, et L est l'arc intercepté par l'angle A.

Par définition, tout angle A (en radians) est défini ainsi : A = L / R. On donne à cet angle le nom de radian (rad). Pour des raisons pratiques (surtout en trigonométrie), les mathématiciens utilisent cette manière de faire pour calculer des angles autrement qu’en degrés. La relation entre les angles en degrés et les angles en radians est proportionnelle.

f) A combien de radians correspond un angle de 90 degrés ?
g) A combien de radians correspond un angle de 360 degrés ?
h) A combien de radians correspond l’angle intérieur d’un triangle équilatéral ?
i) A combien de degrés correspond un angle d’1 radian ?
j) A combien de radians correspond un angle qui délimite un arc de cercle d'une longueur égale au rayon de ce cercle ?

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30. Recherche du plus grand diviseur commun (PGDC)  *

Voici une paire de nombres : 5723 et 3599. Soustrayez le plus petit du plus grand et remplacez le plus grand par le résultat obtenu. Vous obtenez une nouvelle paire de nombres : 2124 et 3599. Avec cette nouvelle paire de nombres, soustrayez à nouveau le plus petit du plus grand et remplacez le plus grand par le résultat obtenu. Vous obtenez une nouvelle paire de nombres. Continuez ainsi jusqu’à ce que la paire obtenue soit formée de deux nombres égaux. Le nombre obtenu à la fin est le plus grand diviseur commun des deux nombres de départ.

Quel est donc le PGDC de 5723 et 3599 ?

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31. Le plus grand produit
!  *   **   ***

Pour chaque exercice qui suit, un certain nombre de chiffres vous sont donnés. Vous ne pouvez les utiliser qu’une seule fois. Il s’agit à chaque fois de former avec ces chiffres deux nombres dont le produit est le plus grand possible.

a) Chiffres disponibles : 1, 2, 3 et 4.

b) Chiffres disponibles : 1, 2, 3, 4 et 5.

c) Chiffres disponibles : 7, 9, 8, 2, 8 et 4.

d) Chiffres disponibles : 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, et 9.

e) Chiffres disponibles : 4, 8, 9, 2, 7, 5, 4, 4, 6, 7 et 9.

Cherchez les solutions des trois premiers exercices par essais successifs. Ensuite, une observation minutieuse des solutions devrait pouvoir vous faire découvrir une méthode vous permettant de résoudre tous les problèmes du même type, quel que soit le nombre de chiffres donnés au départ. J’ai découvert cette méthode durant l’hiver 2013-2014. Mon ami Gérard Charrière m’a donné ensuite la preuve mathématique - pas évidente - de sa justesse.

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32. La vanne
 **

Un ami vous a prêté sa maison de campagne. Il vous dit : « J’ai arrêté l’eau pendant l’hiver, mais tu trouveras à la cave trois vannes (A, B et C), côte à côte. Une seule alimente les pièces de la maison, je ne sais plus laquelle. »

Comment devez-vous vous y prendre pour savoir quelle est la vanne d’alimentation d’eau en ne passant qu’une seule fois à la cave ? (Ce n’est pas une devinette mais une affaire de logique).

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33. Tour de magie dérivé de Fibonacci **   ***

Le numéro 2 de cette rubrique nous a permis de découvrir les suites de Fibonacci. Rappelons comment est construite une telle suite. Au départ, deux nombres sont donnés. Ensuite, chacun des nombres suivants est la somme des deux nombres qui le précèdent directement.

Nous avions trouvé au numéro 2 la suite suivante : 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, etc.
Les deux premiers nombres (1 et 1) ont engendré 2 (1 + 1), puis 3 (1 + 2), puis 5 (2 + 3), puis 8 (3 + 5), etc. Cette suite peut être prolongée à l’infini.

a) Déterminez les 10 premiers nombres de la suite de Fibonacci dont les deux premiers sont 2 et 5. Calculez ensuite la somme de ces 10 nombres.

b) Déterminez les 10 premiers nombres de la suite de Fibonacci dont les deux premiers sont 3 et 8. Calculez ensuite la somme de ces 10 nombres.

c) La somme des 10 premiers nombres d’une suite de Fibonacci est le produit du 7ème nombre par un nombre que l’on va appeler x. Quel est ce nombre x ?

d) Ce nombre x est constant quelle que soit la suite de Fibonacci. Donnez-en la preuve.

e) Le fait de savoir que le produit du 7ème nombre de la suite par x donne la somme des 10 premiers nombres peut conduire à un tour de magie épatant. Imaginez ce tour.

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34. Les boules !
 **   ***

Voici un grand classique des énigmes mathématiques. Il s’agit de repérer, parmi un certain nombre de boules qui paraissent identiques, celle qui diffère de toutes les autres par une masse légèrement différente. On ne sait pas si elle est plus légère ou plus lourde que les autres. Il faut être capable de le dire. Pour résoudre ce problème, on ne dispose que d’une balance double, dite de Roberval, et le but est de l’utiliser qu’un minimum de fois par une méthode qui fonctionne toujours.

Dans les trois premiers exercices ci-dessous, trouvez la méthode qui permet de repérer la boule différente, de dire si elle est plus lourde ou plus légère que les autres, et d’indiquer le nombre minimum de fois qu’est utilisée la balance double.

Pour le quatrième exercice (120 boules), déterminez seulement le nombre de fois qu’il faut utiliser, au minimum, la balance double pour repérer la boule différente, et pour dire si elle est plus lourde ou plus légère que les autres.

1. La boule différente se trouve parmi 3 boules.

2. La boule différente se trouve parmi 4 boules.

3. La boule différente se trouve parmi 12 boules. 

4. La boule différente se trouve parmi 120 boules.

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35. Les tours de  Hanoi  *  **  ***

(Ce problème a été inventé par Edouard Lucas au 19e siècle)

Demandez à un menuisier de vous fabriquer l'objet ci-dessus fait d'une planchette, de trois tiges et de quelques disques, tous de différentes grandeurs. Au départ, les disques doivent être enfilés sur une seule tige, du plus grand au plus petit. Le jeu consiste ensuite à déplacer tous les disques sur une des deux autres tiges, en respectant les règles suivantes :

1. On ne peut déplacer qu’un disque à la fois.

2. On ne peut poser un disque que sur un disque plus grand ou sur un emplacement vide.

Chaque déplacement d’un disque constitue un coup. Le but est de déplacer tous les disques en un minimum de coups.

a) Au départ, il y a 3 disques sur une tige. Combien faut-il de coups, au minimum, pour les déplacer sur une autre tige ?

b) Au départ, il y a 5 disques sur une tige. Combien faut-il de coups, au minimum, pour les déplacer sur une autre tige ?

c) Au départ, il y a 8 disques sur une tige. Combien faut-il de coups, au minimum, pour les déplacer sur une autre tige ?

d) Trouvez une technique qui permet de déplacer rapidement les disques en un minimum de coups.

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36. Le nombre de carrés !  *   **    ***

Vous trouverez ici une technique très pratique et peu connue permettant de savoir si la relation liant deux ensembles peut être une fonction polynomiale et, si c’est le cas, de la trouver. Toutes les figures suivantes sont faites de carrés juxtaposés.

La figure suivante compte 8 carrés. En effet, en plus des 6 petits carrés, il y a le carré formé des 4 petits carrés de gauche et le carré composé des 4 petits carrés de droite.



a) La figure suivante est faite de 16 petits carrés. Mais, combien compte-t-elle de carrés en tout  ?

b) Un échiquier, espace sur lequel on joue aux échecs, est fait de 64 cases carrées.
Combien y a-t-il de carrés sur cet échiquier ?

c) Supposons que l’on ait un échiquier de 100 cases par 100 cases, donc fait de 10'000 cases carrées. Combien y aurait-il de carrés sur cet échiquier ?

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37. Les aires !
 **   ***  ****

a) Dans le croquis ci-dessous, on donne les mesures des côtés AB et BC ainsi que l’aire du triangle BCD. Quelle est l’aire x du triangle ABD ?



b) Dans le croquis ci-dessous, chaque nombre représente, en m2, l’aire du petit triangle dans lequel il se trouve. Quelle est l’aire totale de la figure ?

c) Dans le croquis ci-dessous, chaque nombre représente, en m2, l’aire du petit triangle dans lequel il se trouve. Quelle est l’aire totale de la figure ?



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38. La cible
 ! *  **  ***

Voici un grand classique des compétitions de jeux mathématiques et logiques qui peut se décliner sous plein d'autres formes.

Marc joue avec un nombre illimité de fléchettes en visant une cible qui comporte différentes zones rapportant chacune un certain nombre de points qui s’additionnent chaque fois qu’une fléchette atteint l’une des zones. Certains scores (somme des points obtenus) sont impossibles à atteindre. Le problème consiste à déterminer le nombre de scores impossibles à atteindre ainsi que le plus grand total impossible à atteindre.

1. Dans un premier temps, les cibles ne comportent que deux zones et rapportent :

a) 3 et 7 points.
b) 4 et 6 points.
c) 4 et 9 points.
d) 9 et 12 points.
e) 7 et 30 points.

2. Voyons deux cas avec trois zones (ne cherchez que le plus grand score impossible à atteindre) :

a) 14, 21 et 30 points. C'est l'exercice 14 du 16 novembre 2011 (voir rubrique B de ce site)
b) 5, 9 et 11 points.

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39. Les modulos !  *  ** ***

a) Quel est le reste de la division de 19 par 4 ?
b) Quel est le reste de la division de 51 par 4 ?
c) Quel est le reste de la division de 403 par 4 ?
d) Quel est le reste de la division de 4499 par 4 ?
e) Quel est le reste de la division de 1'827'155 par 4 ?
f) Quelle remarque pouvez-vous faire en comparant les solutions de tous les exercices précédents ?

Avant d’aller plus loin, regardez les solutions des exercices effectués jusqu’ici et la partie théorique qui suit ces solutions.

g) Calculez 19 (mod 9), puis 20 (mod 7), puis 30 (mod 6), puis 53 (mod 8).
h) Les modulos 9 sont souvent utiles. Trouvez une technique pour calculer le plus rapidement possible 2'835'967'345 (mod 9).
i) La preuve par 9 pour les multiplications découle des propriétés mathématiques des modulos. Utilisez-la pour les trois multiplications suivantes :

1) 48 x 7 = 346.
2) 375 x 91 = 34'125.
3) 3872 x  584 = 2'251'348.

j) Le 1er septembre 2014 était un lundi. Quel jour de la semaine était le 1 janvier 2016 ?
k) Neuf chiffres, tous différents, ont été utilisés pour écrire deux nombres entiers dont la somme est égale à 26'868. Quel chiffre n’a pas été employé pour écrire ces deux nombres ?

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40. Espérance de vie  **  ***

L'espérance de vie humaine d’une population est calculée à partir de nombreuses données statistiques reflétant la situation au cours d’une année précise que nous allons appeler l’an x. L’âge moyen et l’espérance de vie (deux notions différentes quoique apparentées, comme on le verra plus loin) d’une population en l’an x (ni avant, ni après l’an x) sont calculées à partir de ces données. L’espérance de vie des habitants d’un pays calculée en l’an x va permettre de déterminer l’âge auquel les habitants de ce même pays peuvent espérer vivre après l’an x, si les conditions de vie de l’an x se maintiennent.

L’espérance de vie mesure l'état de santé d'une population. Elle est très variable d'un pays à l'autre : de moins de 50 ans dans les pays en voie de développement jusqu'à 80 ans et plus dans les pays développés. Elle est liée à de nombreux facteurs sociaux, sanitaires, comportementaux qui diffèrent d'un pays à l'autre. Sa tendance générale est une augmentation globale et régulière, mais elle pourrait baisser si les conditions de vie venaient à se dégrader.

Dans les pays souffrant d’un fort taux de mortalité enfantine, l'espérance de vie à la naissance est moins élevée et ne reflète donc pas nécessairement l'espérance de vie d'une personne ayant survécu à sa première année.

Dans la quasi-totalité des pays, l'espérance de vie des femmes est plus importante que celle des hommes.

L’espérance de vie n’a rien à voir avec la longévité que peuvent atteindre certaines personnes. En Suisse, chez les femmes, l’espérance de vie était de 84,7 ans en 2012, alors qu’elle était d’environ 45 ans en 1900. Vers 1900, il y avait déjà des centenaires, certes peu nombreux en comparaison avec aujourd’hui. En 2010, la doyenne de Suisse s’est éteinte à 113 ans.

Pour trouver l’espérance de vie d’une population en l’an x, cela nécessite beaucoup de calculs dans les domaines des statistiques et des probabilités, effectués à l’aide d’ordinateurs. Nous n’aborderons ici qu’une toute petite partie de ces calculs.

Etant donné l’utilisation de symboles que je n’arrive pas à traduire sur ma page web, cet exercice est repris ici (pdf).

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41. Les bases  *  **  ***

Les nombres que nous utilisons tous les jours sont, à part de rares exceptions (notamment en informatique et en électronique), codés en base dix. Dans 8324, on a 8 milliers, 3 centaines, 2 dizaines et 4 unités. Ce système de représentation, dit décimal, utilise 10 chiffres (0 à 9) et est très ancien. Il découle du fait que nos deux mains comptent dix doigts.

Dans la colonne de gauche du tableau ci-dessous, nous avons les 20 premiers nombres entiers écrits en base 10. Dans la 2ème colonne (base 8), les nombres de la première colonne sont écrits en base 8. Pour les obtenir, on s’est contenté d’écrire les nombres en base 10, dans l’ordre croissant, mais en éliminant les nombres qui ont des 8 et/ou des 9, car en base 8, seuls les chiffres de 0 à 7 sont admis.

En base 5, seuls les chiffres de 0 à 4 peuvent être utilisés. En base 3, seuls les chiffres de 0 à 2 peuvent être utilisés. Etc.

a) Complétez le tableau en transformant les nombres de la première colonne (base 10) en base 5, puis en en base 3 et enfin en base 2. Utilisez la méthode vue ci-dessus qui indique comment passer de la base 10 à la base 8.


Si vous avez complété correctement le tableau, vous constaterez que 20 en base 10 correspond à 24 en base 8, à 40 en base 5, à 202 en base 3 et à 10100 en base 2. C’est la manière la plus simple pour transformer des nombres de la base 10 en des nombres d’autres bases. Cette façon de procéder n’est pas pratique lorsque les nombres à transformer deviennent plus grands.

Avant d’aller plus loin, rappelons que le nombre 8324 (base 10) est égale à 8 x 1000 + 3 x 100 + 2 x 10 + 4 x 1 = 8 x 103 + 3 x 102 + 2 x 101 + 4 x 101 = 8000 + 300 + 20 + 4.

Le même principe est appliqué pour toutes les bases. Supposons que l’on souhaite transformer le nombre 1983 (base 10) en base 5. On commence par calculer un certain nombre de puissances de 5.

50 = 1            51 = 5            52 = 25            53 = 125           54 = 625          54 = 3125

Comme 55 > 1983, alors 1983 = a x 54 + b x 53 + c x 52 + d x 51 + e x 50 et le nombre cherché est abcde.

1983 : 625 = 3 (a = 3), avec un reste de 108.
108 : 125 = 0 (b = 0), avec un reste de 108.
108 : 25 = 4 (c = 4), avec un reste de 8.
8 : 5 = 1 (d = 1), avec un reste de 3.
3 : 1 = 3 (e = 3). Il n’y a plus de reste.

Alors, 1983 = 3 x 54 + 0 x 53 + 4 x 52 + 1 x 51 + 3 x 50= 3 x 625 + 0 x 125 + 4 x 25 + 1 x  5 + 3 x 1. Ainsi, 1983 (base 10) correspond à 30413 (base 5).

b) Transformez 2591 (base 10) en base 8.

c) Transformez 61 (base 10) en base 2.

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42. Les coupes du menuisier ! *  **  ***

Un menuisier veut découper des morceaux de bois ayant la forme de parallélépipèdes rectangles en des cubes de 1 dm3 . Après chaque coupe, il peut déplacer les morceaux obtenus et les disposer comme il veut. Les morceaux ne peuvent pas être déplacés pendant une coupe. Il cherche à faire le minimum de coupes possible.

1. Son 1er morceau de bois a les dimensions suivantes : 1 dm, 2 dm et 2 dm. Combien de coupes doit-il faire ?

2. Son 2ème morceau de bois a les dimensions suivantes : 2 dm, 2 dm et 3 dm. Combien de coupes doit-il faire ?

3. Son 3ème morceau de bois est un cube de 3 dm de côté. Combien de coupes doit-il faire ?

4. Son 4ème morceau de bois a les dimensions suivantes : 3 dm, 3 dm et 10 dm. Combien de coupes doit-il faire ?

5. Son 5ème morceau de bois a les dimensions suivantes : 10 dm, 17 dm et 35 dm. Combien de coupes doit-il faire ?

6. Trouvez une méthode qui permet de trouver rapidement le nombre de coupes quelles que soient les dimensions du morceau de bois au départ.

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43. L'araignée et la mouche **  ***

Voici le croquis d’un parallélépipède rectangle à base carrée :

Le point A est au centre de la face de gauche, à 7 mm du bas. Le point M est au centre de la face de droite, à 7 mm du haut.

1. Une araignée se trouve au point A et veut rejoindre une mouche au point M, par le plus court chemin, en marchant sur le verre. Combien mesure ce plus court chemin ?

Ne passez au point 2 que si vous n'êtes pas arrivés à trouver la mesure du plus court chemin.

2. Par définition, le développement (ou patron) d’un solide est la représentation de toutes les faces du solide dans un même plan, de telle sorte que chaque face soit reliée à au moins une autre par une arête commune et que toutes les faces soient ainsi reliées entre elles. Le développement d’une sphère n’est pas possible. Le développement peut être fait à diverses échelles et de plusieurs manières.

Dessinez le développement de la boîte donnée des trois manières suivantes, en vraie grandeur (échelle 1:1). Placez ensuite sur les trois développements les points A et M. Puis calculez la distance de A à M dans les trois cas. Vous devriez alors pouvoir trouver la mesure du plus court chemin de l'araignée.

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44. Le parking
 *


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45. Le tour de cartes ***

Ce jeu peut constituer un joli tour de magie.

Considérons un jeu traditionnel de 36 cartes dont les points sont donnés dans le tableau ci-dessous. Ainsi, dans ce jeu, les quatre Valets valent 2 points, les quatre Dames 3 points, les quatre Rois 4 points, les quatre six 6 points, etc.

Cartes

Valets

Dames

Rois

6

7

8

9

10

As

Points

2

3

4

6

7

8

9

10

11

Le jeu consiste, après avoir mélangé les cartes, de prendre les cartes les unes après les autres pour en faire un certain nombre de tas de la manière suivante :

  1. On pose une carte (carte a) et on complète ce premier tas par autant de cartes nécessaires pour aller jusqu’à 11. Si a = 8, On ajoute 3 cartes sur ce 8. Si a = As, on n’ajoute aucune carte sur cet as. Si a = Valet, on ajoute 9 cartes sur ce Valet. On a ainsi un premier tas de cartes.
  2. On fait un 2ème tas en posant une carte (carte b) et on complète ce 2ème tas par autant de cartes nécessaires pour aller jusqu’à 11. On obtient un 2ème tas de cartes.
  3. On fait un 3ème tas en posant une carte (carte c) et on complète ce 3ème tas par autant de cartes nécessaires pour aller jusqu’à 11. On obtient un 3ème tas de cartes.
  4. On continue toujours ainsi. A un certain moment, en posant une énième carte, on n’arrive plus à aller jusqu’à 11. Ce groupe de cartes ne constitue plus un tas complet. On l’appelle « Reste ».

Voyons un exemple complet :

  1. La première carte (carte a) est une Dame (3 points). Il faut rajouter 8 cartes dans ce premier tas qui va compter 9 cartes.
  2. La première carte du tas suivant (carte b) est un 9. Il faut rajouter 2 cartes dans ce 2ème tas qui va compter 3 cartes. 12 cartes ont été posées jusqu’à présent (9 + 3).
  3. La première carte du tas suivant (carte c) est un Roi (4 points). Il faut rajouter 7 cartes dans ce 3ème tas qui va compter 8 cartes. 20 cartes ont été posées jusqu’à présent (9 + 3 + 8).
  4. La première carte du tas suivant (carte d) est un As (11 points). On n’ajoute aucune carte dans ce 4ème tas. 21 cartes ont été posées jusqu’à présent (9 + 3 + 8 +1).
  5. La première carte du tas suivant (carte e) est une Dame (3 points). Il faut rajouter 8 cartes dans ce 5ème tas qui va compter 9 cartes. 30 cartes ont été posées jusqu’à présent (9 + 3 + 8 + 1 + 9).
  6. La première carte du tas suivant est un valet (2 points). Il n’y a plus assez de cartes pour arriver jusqu’à 11 puisqu’il nous en restait 6 après le 5ème tas. On dit alors que le Reste est égal à 6 et on ne considère pas ce Reste comme un tas.

Bilan : on a réalisé 5 tas et on a un Reste de 6.

Faisons la somme des premières cartes des 5 tas (a + b + c + d + e) : 3 + 9 + 4 + 11 + 3 = 30

C’est ici que les choses deviennent intéressantes. Connaissant le nombre de tas réalisés et le Reste, il est possible de connaître la somme des points des premières cartes des tas, sans avoir vu poser les cartes par un partenaire à qui on a expliqué le jeu.

Si donc notre partenaire nous dit « 5 tas et 6 cartes restantes », on est capable de dire que la somme des points des premières cartes de chaque tas est 30.

Comment deviner la somme des premières cartes de tous les tas, quels que soient le nombre de tas et le nombre de cartes restantes ?

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46. Objectif 2015 !  **

On souhaite atteindre 2015, à partir de 1, en n’utilisant que trois opérations : ajouter 1 ou ajouter 2 ou multiplier par 3. Chaque opération constitue une étape.

Combien d’étapes faut-il, au minimum, pour atteindre 2015 ?

Solution (pdf)

 


47. Tic-tac-toe *  **

Deux joueurs, Albert et Benoît, doivent marquer, à tour de rôle, une case de la grille suivante par un signe qui leur est propre. Par exemple, Albert marque des A et Benoît des B. Le premier qui aligne horizontalement ou verticalement ou en diagonale trois de ses signes a gagné.

     
     
     

Existe-t-il une tactique gagnante pour celui qui commence à jouer ?

Solution (pdf)

 


48. Le chrono  *  **

Agnès souhaite fait un test sur une piste d’athlétisme. Elle aimerait connaître la distance maximale qu’elle est capable de courir d’affilée pendant 10 minutes.

Sa grande sœur Agatha doit la chronométrer. Comment va-t-elle s’y prendre sachant qu’elle ne dispose que de deux sabliers, l’un de 4 minutes (petit sablier) et l’autre de 9 minutes (grand sablier), et qu'elle souhaite faire un minimum de manipulations possible ?

        

 


49. Un tour de magie  *  **

Demandez à un ami d’écrire un nombre entier positif de trois chiffres, sans que vous puissiez avoir connaissance de ce nombre. Demandez-lui de vous donner le premier et le dernier chiffre du nombre qu’il a écrit, dans l’ordre qu’il souhaite.

Expliquez à votre ami que, par convention, le « retourné » du nombre abc est cba. Par exemple, le « retourné » de 439 est 934.

Demandez à votre ami d’écrire le «retourné » de son nombre, toujours sans que vous puissiez avoir connaissance de ce qu’il écrit. Demandez-lui de soustraire le plus petit des deux nombres du plus grand.

A ce moment-là, comme par magie, vous lui donnez le résultat de cette soustraction. Comment avez-vous fait ?

Solution (pdf)

 


50. Médor poursuit son maître !  *****

L’énigme suivante est tirée d’un problème du génial Sam Loyd qui vécut de 1841 à 1911 et qui est considéré comme le plus grand inventeur américain de divertissements mathématiques. J’y ai apporté quelques modifications dans les mesures afin que les calculs soient un peu plus simples. N’étant pas capable de résoudre ce problème, j’ai fait appel à mes amis Gérard Charrière et Alain Rossier, experts en mathématiques. Loyd propose une méthode étrange de résolution qui aboutit au même résultat que Charrière et Rossier. A la question de savoir pourquoi la méthode de Loyd fonctionne, personne n’a pu me répondre.

Le chien Médor est au point M, à 102,60 m de Bill, son maître, qui est au point B. Médor et Bill partent en même temps. Le chien va deux fois plus vite que son maître. Bill court en direction de C (BC est perpendiculaire à BM) et Médor court toujours en direction de son maître.

Quelle distance doit parcourir Médor pour rattraper son maître ?



Solutions (pdf) selon la méthode de Loyd et celle de Charrière

Solution (pdf) d'Alain Rossier

 


51. Les jetons   **

Vous êtes assis à une table et on vous a bandé les yeux.

Quelqu’un vous dit alors ceci : « Sur la table, j’ai posé aléatoirement 17 jetons qui ont la particularité d’être noirs d’un côté et blancs de l’autre. Sept jetons ont leur face noire visible et dix présentent leur face blanche. »

Vous devez maintenant, sans enlever le bandeau, faire deux tas avec ces 17 jetons, de manière à ce que les deux tas présentent chacun le même nombre de jetons noirs. Vous avez le droit, bien sûr, de retourner des jetons.

Comment allez-vous faire ?

Solution (pdf)

 


52. Les puissances  *  **

52 = 25, alors 25 est un carré. 43 = 64, alors 64 est un cube. 34 = 81, alors 81 est une puissance quatrième. 65 = 7776, alors 7776 est une puissance cinquième. Etc.

L’utilisation d’une calculatrice est recommandée pour les exercices suivants dans lesquels ne peuvent intervenir que des nombres entiers positifs.

1. Le nombre 729 est-il à la fois un carré et un cube ? Si oui, de quel nombre est-il le carré et de quel nombre est-il le cube ?

2. Le nombre 4096 est-il à la fois un carré et un cube ? Si oui, de quel nombre est-il le carré et de quel nombre est-il le cube ?

3. L’affirmation suivante « Tous les nombres qui sont à la fois un carré et un cube sont des puissances sixièmes » est vraie. Vérifiez cette affirmation en cherchant d’abord les trois nombres inférieurs à 1000 qui sont à la fois des carrés et des cubes.

4. Le nombre 1024 est-il à la fois un carré et une puissance cinquième ? Si oui, de quel nombre est-il le carré et de quel nombre est-il la puissance cinquième ?

5. L’affirmation suivante « Tous les nombres qui sont des puissances dixièmes sont aussi des carrés et des puissances cinquièmes » est vraie. Vérifiez cette affirmation avec les nombres 1024 = 210 et 59'049 = 310.

6. De quelles autres puissances inférieures à 12 sont tous les nombres qui sont des puissances douzièmes ? Vérifiez vos réponses avec les nombres 531'441 = 312 et 16'777'216 = 412.

7. De quelles autres puissances inférieures à n (nombre entier positif) sont tous les nombres qui sont des puissances énièmes ?

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53. Les rocades !  **  ***

Une rocade circulaire est est une route dont le tracé forme un cercle.

1. Les maires des trois villes M, N et P souhaitent faire construire une rocade circulaire passant par leurs trois villes. Dessinez la rocade circulaire.

2. Les maires des quatre villes A, B, C et D souhaitent faire construire une rocade circulaire passant par leurs quatre villes. Ils s’aperçoivent rapidement que ce n’est pas possible. Ils demandent alors à un bureau d’études de tracer une rocade circulaire passant à égale distance de chacune des villes. Dessinez cette rocade circulaire. Peut-il y avoir plusieurs possibilités ? Si oui, combien y en a-t-il, au maximum, et comment les déterminer toutes.

La donnée avec position des villes, c'est ici (pdf)

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54. Les mèches  **

Vous ne disposez que de deux mèches et d’un briquet. Les mèches n’ont pas la même longueur, se consument chacune en 1 minute, mais de façon irrégulière. Par exemple, la moitié de la première mèche pourrait se consumer en 23 secondes et la moitié de l’autre en 32 secondes.

Comment mesurer exactement 45 secondes ?

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55. Les nombres cachés ! * ** ***

Albert et Benoît jouent avec les nombres naturels positifs (1, 2, 3, 4, 5, 6, etc.).

Albert choisit un nombre naturel appelé nombre caché. Benoît veut le découvrir en annonçant un premier nombre. Albert ne peut répondre que par « Trop grand » ou « Trop petit » ou « Juste ». Si le premier nombre proposé par Benoît n’est pas juste, il en annoncera un 2ème et Albert répondra toujours par « Trop grand » ou « Trop petit » ou « Juste ». Et ainsi de suite, jusqu’à ce que Benoît trouve le nombre caché. Le but est de découvrir le nombre caché en annonçant un minimum de nombres. Chaque nombre annoncé par Benoît correspond à un coup.

a) Albert dit à Benoît que le nombre caché est inférieur à 5. De combien de coups, au minimum, Benoît a-t-il besoin pour découvrir à coup sûr le nombre caché ?

b) Albert dit à Benoît que le nombre caché est inférieur à 7. De combien de coups, au minimum, Benoît a-t-il besoin pour découvrir à coup sûr le nombre caché ?

c) Albert dit à Benoît que le nombre caché est inférieur à 9. De combien de coups, au minimum, Benoît a-t-il besoin pour découvrir à coup sûr le nombre caché ?

d) Albert dit à Benoît que le nombre caché est inférieur à 16. De combien de coups, au minimum, Benoît a-t-il besoin pour découvrir à coup sûr le nombre caché ?

e) Albert dit à Benoît que le nombre caché est inférieur à 32. De combien de coups, au minimum, Benoît a-t-il besoin pour découvrir à coup sûr le nombre caché ?

f) Albert dit à Benoît que le nombre caché est inférieur à n. De combien de coups, au minimum, Benoît a-t-il besoin pour découvrir à coup sûr le nombre caché ?

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56. Les chapeaux ! ***

Trois sœurs, Anna, Berthe et Claudine ont été averties que dans une pièce voisine sans la moindre lumière, il y a trois chapeaux noirs et deux chapeaux rouges. Claudine est aveugle, mais a une excellente mémoire et est bonne en logique. Elles sont ensuite conduites dans cette pièce et chacune d’elles prend un chapeau au hasard, sans le voir, et le met sur sa tête. Les deux chapeaux restants sont retirés de la pièce. On allume maintenant la lumière. Il s’échange alors le dialogue suivant :

Anna : « Je n’arrive pas à savoir la couleur de mon chapeau. »

Berthe : « Moi non plus. »

Claudine : « Alors moi, je connais la couleur de mon chapeau. »

Comment Claudine peut-elle connaître la couleur de son chapeau ? Quelle est la couleur de son chapeau ?


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57. Le coloriage **

Valentine veut colorier les 25 cases du quadrillage suivant. Elle ne souhaite jamais utiliser la même couleur sur une même colonne ou sur une même ligne ou encore sur une même diagonale.

Combien de couleurs différentes doit-elle utiliser, au minimum ?

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58. Théorème de Viviani ! **

Le triangle ABC donné dans le croquis suivant est équilatéral. Appelons x son côté, et h sa hauteur. La distance du point O aux trois côtés du triangle est respectivement a, b et c.

a) Calculez l’aire du triangle ABC, à partir de l’aire de chacun des triangles ABO, BCO et ACO.

b) Calculez l’aire du triangle ABC, à partir de x et h.

c) Que pouvez-vous déduire des résultats obtenus aux points a et b ?


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59. Le marathon **

Pour préparer un marathon, Lucien a couru deux heures d’affilée ce matin, en partant de chez lui à 9 heures. Il a couru sur un terrain vallonné, équipé d’un appareil capable de lui fournir ensuite une foule d’informations (fréquence cardiaque, distance parcourue, temps de course, vitesse, etc.). A son retour, il remarque que sa vitesse fut très variable et qu’il a atteint une seule fois les 15 km/heure, pile à 10 heures.

Pendant son entraînement, entre 9 heures et 11 heures (bornes non comprises), y a-t-il eu au moins un instant où la vitesse de Lucien était exactement la même qu’une heure auparavant (on suppose que l’appareil indique les vitesses en continu) ?

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60. La porte du Paradis ! * **

Vous êtes face à deux portes (A et B) dont l'une ouvre sur l'Enfer et l'autre sur le Paradis. Vous ne savez pas laquelle mène au Paradis, et laquelle conduit à l'Enfer.

Un garde est posté devant chacune des portes. Chaque garde sait parfaitement où conduisent les portes. Vous savez que l’un des gardes ment toujours et que l’autre dit toujours la vérité. Les gardes connaissent aussi cette particularité qui les concerne.

Pour reconnaître la porte du Paradis, vous avec le droit de poser une seule question, à un seul des deux gardes.

Quelle question vous permettra à coup sûr d’ouvrir la porte du Paradis ? Selon la réponse à cette question, quelle porte faut-il choisir ?

Pour ceux qui le désirent, voici quelques pistes :

1. Enfer, Paradis, un garde menteur et un garde qui dit la vérité. Quels sont les cas possibles ?

2. A la question « Quelle est la porte du Paradis ? », que répondent les gardes ?

3. A la question « Quelle serait la réponse de l’autre garde si je lui demande quelle est la porte du Paradis ? », que répondent les gardes ?

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61. Les droites ! ** ***

Guy a dessiné n droites dans un plan. Deux d’entre elles ne sont jamais parallèles et trois d’entre elles ne sont jamais concourantes (elles ne se croisent jamais en un point unique). Ces droites divisent le plan en un certain nombre de régions distinctes.

Combien de régions va-t-il obtenir si :

a) n = 2    b) n = 3    c) n = 4    d) n = 5   e) n =14   f) n = 100

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62. Les ascenseurs ! **

Un grand magasin comporte sept étages numérotés de 1 à 7. Le propriétaire a fait installer un minimum d’ascenseurs qui ont tous la particularité de ne desservir que trois étages. Il a exigé également que, de chaque étage, il soit possible d’atteindre n’importe quel autre étage en n’utilisant qu’un seul ascenseur.

Combien y a-t-il d’ascenseurs dans ce magasin ? Sur chaque ascenseur, il y a une plaque indiquant les étages atteignables. Par exemple, la plaque « 136 » indique que vous pouvez atteindre les étages 3 et 6, depuis le 1er étage, les étages 1 et 6, depuis le 3ème étage, et les étages 1 et 3, depuis le 6ème étage. Donnez une configuration possible des plaques de chaque ascenseur.

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63. Les transvasements ! * **  ***

1. Comment faire pour rapporter d’une rivière exactement 1 litre d’eau, si l’on dispose, pour en mesurer la quantité, que de deux seaux non gradués, l’un de 2 litres et l’autre de 3 litres ?

2. Comment faire pour rapporter d’une rivière exactement 5 litres d’eau, si l’on dispose, pour en mesurer la quantité, que de deux seaux non gradués, l’un de 4 litres et l’autre de 3 litres ?

3. Comment faire pour rapporter d’une rivière exactement 3 litres d’eau, si l’on dispose, pour en mesurer la quantité, que de deux seaux non gradués, l’un de 4 litres et l’autre de 6 litres ?

4. Les trois seaux de Joël ne sont pas gradués. L’un est rempli à ras bord et il contient 8 litres d’eau. Les deux autres peuvent contenir, au maximum, l’un 5 litres et l’autre 3 litres.

Combien de transvasements, au minimum, devra-t-il faire pour obtenir 4 litres dans un des seaux et 4 litres dans un autre ? (on considère qu’il y a transvasement chaque fois que l’on verse de l’eau d’un récipient dans un autre)

5. Un marchand d’huile doit aller livrer une quantité d’huile comprise, en nombres entiers de litres, entre 1 et 12 litres, mais qu’il ne connaît pas à l’avance. Il ne prend avec lui que trois urnes non graduées, l’une de 7 litres qui est vide, une autre de 8 litres qui est aussi vide et la dernière de 12 litres qui est pleine d’huile.

Quelles quantités d’huile ne sera-t-il pas capable de livrer avec exactitude ?

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64. Le petit taquin * **

Le taquin est un jeu bien connu créé aux Etats-Unis vers 1870 et qui se joue tout seul. Sam Loyd (1841-1911), considéré comme le plus grand inventeur américain de divertissements mathématiques, a rendu populaire ce jeu.

Le taquin est composé de 15 pièces numérotées de 1 à 15 glissant dans un cadre prévu pour 16 pièces. Le jeu consiste à passer d’une configuration donnée à une autre en déplaçant les pièces, verticalement ou horizontalement, sur la case vide. Le passage d’une configuration à une autre n’est pas toujours possible.

Au lieu de jouer avec un taquin habituel de 16 cases, nous allons le faire ici avec ce que j’appelle un petit taquin constitué de 9 cases.

Pour commencer, construisez un petit taquin en dessinant un carré de 9 cm de côté, à l’intérieur duquel vous dessinez 9 carrés de 3 cm de côté. Fabriquez ensuite 8 petits carrés cartonnés de 2 cm de côté (ce sont les pièces du jeu). Numérotez-les de 1 à 8

1. En respectant les règles tu taquin, est-il possible de passer de la configuration de gauche à celle de droite ?

2. Voici une méthode permettant de déterminer, sans manipuler les pièces, si on peut passer d’une configuration à une autre. Cette méthode exige au préalable de répondre à deux questions illustrées par l’exemple ci-dessous où la case vide est symboliquement remplacée par une pièce nommée V.

Première question : De combien de cases doit se déplacer V pour passer de la configuration de départ à celle d'arrivée ? Pour répondre à cette question, il faut faire comme si V est une vraie pièce, seule sur le jeu, pouvant donc se déplacer librement. Dans notre exemple, V doit, au minimum, se déplacer de 3 cases (une possibilité est de descendre d’une case et d’avancer de deux cases vers la droite) pour atteindre son emplacement final. Il existe une infinité d’autres possibilités pour V d’atteindre sa position finale (V pourrait notamment passer plusieurs fois sur une même case), représentées toutes par un déplacement d’un nombre impair de cases.

Seconde question : Combien faut-il faire d’échanges entre deux pièces pour passer de la configuration de départ à celle d’arrivée ? Ici, il faut oublier les règles du taquin. Nous avons maintenant le droit d’échanger les pièces les unes par-dessus les autres. Ainsi, on peut arriver à la position finale en faisant 3 échanges de pièces : on échange V avec 5, puis 4 avec 5 et 7 avec 8. Ici encore, il existe une infinité d’autres possibilités, toutes comptant un nombre impair d’échanges de pièces.

Reprenez maintenant les trois exercices du point 1, et répondez pour chaque cas (a, b et c) aux deux questions soulignées. Les réponses à ces questions permettent de dire s’il est possible de passer d’une certaine configuration à une autre. Essayez d’en découvrir la règle.

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65. Les derniers chiffres d'un produit ! * **  ***

Le but de cet exercice revient à trouver les derniers chiffres d’un produit de deux nombres entiers positifs. Pour répondre aux questions suivantes, les seuls outils pouvant être utilisés sont une feuille de papier et de quoi écrire (les calculatrices et autres outils informatiques sont donc interdits).

Pour les exercices allant de a à e, si votre réponse est non, donnez un exemple qui montre que vous avez raison.

Lorsque l’on demande le nombre formé par les derniers chiffres d’un nombre, il faut prendre les chiffres dans l’ordre où ils apparaissent, de gauche à droite. Exemple : le nombre formé par les deux derniers chiffres de 75'432 est 32 (et non pas 23).

a) Sachant que 8 x 3 = 24, peut-on conclure que tous les produits de deux nombres dont l’un se termine par 8 et l’autre par 3 finissent par 4 ?

b) Sachant que 27 x  34 = 918, peut-on conclure que tous les produits de deux nombres dont l’un se termine par 27 et l’autre par 34 finissent par 18 ?

c) Sachant que 85 x  6 = 510, peut-on conclure que tous les produits de deux nombres dont l’un se termine par 85 et l’autre par 6 finissent par 10 ?

d) Sachant que 4534 x 242 = 1'097'228, peut-on conclure que tous les produits de deux nombres dont l’un se termine par 242 et l’autre par 534 finissent par 228 ?

e) Sachant que 4534 x 242 = 1'097'228, peut-on conclure que tous les produits de deux nombres dont l’un se termine par 242 et l’autre par 34 finissent par 228 ?

f) Les exercices précédents vous ont certainement permis de déterminer quelques règles concernant les derniers chiffres d’un produit de deux nombres. Enoncez-les de manière la plus simple possible.

g) Quel est le nombre formé par les deux derniers chiffres du produit de 2567 x 327'152 ?

h) Quel est le nombre formé par les trois derniers chiffres du produit de 1969 x 40'878 ?

i) Quel est le dernier chiffre de 360 ?

j) Quel est le nombre formé par les deux derniers chiffres de 360 ?

k) Quel est le nombre formé par les trois derniers chiffres de 360 ?

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66. Les bouteilles ! * ** ***

Une entreprise souhaite fabriquer des bouteilles en verre qui soient très solides. Elle en est au stade expérimental, et a fabriqué divers prototypes (A, B, C, D, E, F et G) qu’elle veut faire tester. Pour chaque prototype, elle a réalisé deux bouteilles parfaitement identiques du point de vue solidité.

Des personnes vont être chargées de tester les différents prototypes en recevant exactement deux bouteilles du prototype à tester. Elles doivent déterminer à partir de quelle hauteur la bouteille se casse, tout en faisant un minimum de tests. Les hauteurs à tester sont des nombres entiers de mètres. Une bouteille qui tombe sans se casser ne perd rien de sa solidité et peut donc être utilisée plusieurs fois. Il est possible qu’une bouteille ne se casse pas, quelles que soient les différentes hauteurs testées.

Pour chaque exercice ci-dessous, la question est la suivante : dans le cas le plus défavorable, quel est le nombre minimum de tests que chaque personne doit réaliser afin de déterminer à partir de quelle hauteur la bouteille se casse (si elle se casse) ?

a) La première personne doit faire des tests sur des hauteurs allant de 1 à 3 mètres, avec deux bouteilles du prototype A.

b) La deuxième personne doit faire des tests sur des hauteurs allant de 1 à 5 mètres, avec deux bouteilles du prototype B.

c) La troisième personne doit faire des tests sur des hauteurs allant de 1 à 6 mètres, avec deux bouteilles du prototype C.

d) La quatrième personne doit faire des tests sur des hauteurs allant de 1 à 10 mètres, avec deux bouteilles du prototype D.

e) La cinquième personne doit faire des tests sur des hauteurs allant de 1 à 15 mètres, avec deux bouteilles du prototype E.

f) La sixième personne doit faire des tests sur des hauteurs allant de 1 à 21 mètres, avec deux bouteilles du prototype F.

g) La septième personne doit faire des tests sur des hauteurs allant de 1 à 400 mètres, avec deux bouteilles du prototype G.

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67. Les carrés gréco-latins ! * ** ***

Le grand mathématicien suisse Leonard Euler (1707-1783) s’était interrogé sur une espèce de carrés magiques illustrés par les problèmes suivants.

a) Supposons que l’on ait 9 officiers ayant 3 grades différents (A, B et C) appartenant à 3 régiments différents (1, 2 et 3). On pourrait alors attribuer à chacun un matricule : A1, B1, C1, A2, B2, C2, A3, B3, C3. Placez les neuf matricules de ces officiers dans le carré d’ordre 3 ci-dessous (un matricule par case) de telle manière que dans chaque ligne et dans chaque colonne, il n’y ait jamais de grades identiques et jamais de régiments identiques.

     
     
     

b) Nous avons maintenant 16 officiers ayant 4 grades différents (A, B, C et D), et appartenant à 4 régiments différents (1, 2, 3 et 4). Placez les 16 matricules dans un carré d’ordre 4 en respectant les mêmes conditions qu’à l’exercice a.

c) Résolvez le même problème avec 25 officiers ayant 5 grades différents, et appartenant à 5 régiments différents.

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68. Les billards magiques ! * ** ***

Les billards magiques sont tous bordés par un rectangle ABCD (les côtés de ce rectangle sont les bandes des billards), et dans la même disposition que celui dessiné ci-dessous. Ils ont un petit trou à chacun des sommets A, B, C et D, et sont entièrement quadrillés de carrés d’un cm de côté. Une bile minuscule est projetée systématiquement de A, toujours dans la même direction (45 degrés avec la bande AB), et va rebondir contre les bandes jusqu’à ce qu’elle s’échappe par un des quatre trous. Les dimensions des billards sont données par les côtés x et y. Sur le croquis où une partie du tracé de la bille est dessinée, le billard mesure 6 cm par 5 cm, dimensions que l’on notera tout simplement (6 ; 5).

Trois questions sont posées pour chaque billard :

  1. Quel est le nombre de carrés traversés par la bille avant de s’échapper ?
  2. Combien de bandes la bille a-t-elle touchées avant de s’échapper ?
  3. Par quel sommet la bille va-t-elle s’échapper ?

Répondez aux trois questions pour les billards dont les dimensions (x ; y) sont les suivantes : (après avoir résolu quelques exercices à l’aide de dessins, il faut chercher une méthode permettant de résoudre tous les problèmes de ce type sans passer par des dessins).

    a) 3 cm par 3 cm.
    b) 3 cm par 2 cm.
    c) 2 cm par 5 cm.
    d) 6 cm par 5 cm.
    e) 9 cm par 6 cm.
    f) 14 cm par 8 cm.
    g) 24 cm par 44 cm.
    h) 324 cm par 252 cm.

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69. Les récompenses !  ***

Un maître de mathématiques fait l’annonce suivante à ses 20 élèves : « Afin de vous récompenser pour votre excellent travail durant cette année scolaire, j’offrirai à certain d’entre vous une récompense. Demain, je vous demanderai de vous mettre dans une position telle que le premier ne voit aucun de ses camarades, que le 2ème ne voit que le premier, que le 3ème ne voit que les deux premiers, que le 4ème ne voit que les trois premiers, et ainsi de suite, jusqu’au 20ème qui sera le seul à voir tous ses camarades. Ensuite, je mettrai sur la tête de chacun un chapeau bleu ou rouge. Puis je demanderai à chacun, du 20ème au premier, à tour de rôle, de prononcer le mot bleu ou rouge. Je dirai juste à chaque élève dont le mot prononcé correspond à la couleur de son chapeau, et faux, aux autres. Ceux à qui je dirai juste recevront une récompense ».

Les 20 élèves ont un jour pour élaborer une stratégie. Combien d’élèves, au maximum, seront-ils sûrs de recevoir une récompense ? (Si vous êtes en panne d’inspiration, lisez le premier paragraphe de la solution, et continuez ensuite la recherche)

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70. Les terrains ! * **

Au pays des Lilliputiens, six frères, Jules, Albert, Benoît, Candide, Denis, et Eric, possèdent chacun un domaine d’un seul tenant. Les domaines de chacun sont parfaitement séparés les uns des autres. Chacun souhaite léguer la totalité de son domaine à ses enfants, lesquels ne doivent recevoir qu’une seule parcelle, rectangulaire ou triangulaire. Ils décident de mettre un piquet à chacun des sommets des terrains donnés et de poser une seule barrière entre chaque piquet.

Jules a deux enfants. Il a séparé son domaine selon le croquis suivant. Il lui a fallu mettre 6 piquets et 7 barrières (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7).

a) Albert a divisé son domaine de la manière suivante. Combien a-t-il d’enfants ? Combien a-t-il mis de piquets et de barrières ?

b) Benoît a divisé son domaine de la manière suivante. Combien a-t-il d’enfants ? Combien a-t-il mis de piquets et de barrières ?


c) Candide a deux enfants. Pour partager son domaine, il a mis 5 piquets. Combien a-t-il mis de barrières ? Dessine le domaine après le partage.

d) Denis a 5 enfants. Il a mis 6 piquets pour faire le partage. Combien d’enfants ont eu un terrain triangulaire ?

e) Eric a mis 7 piquets pour faire le partage. Combien a-t-il d’enfants ?

f) Il existe une relation liant le nombre d’enfants (E), le nombre de piquets (P) et le nombre de barrières (B). Quelle est cette relation ?

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71. Le dilemme de Monty Hall !  ***

Monty Hall est le nom d’un célèbre animateur d’une télévision américaine qui proposait à ses invités, dans les années 1960, un jeu dans lequel ils tentaient de gagner une automobile.

L’invité avait à choisir entre trois portes. Il savait que derrière une des portes il y avait une automobile, et derrière les deux autres il y avait une chèvre. L’animateur savait derrière quelle porte se trouvait l’automobile. Une fois que l’invité avait choisi la porte (sans l’ouvrir), l’animateur ouvrait une autre porte derrière laquelle se trouvait toujours une chèvre.

Après cela, l’animateur laissait le choix à l’invité de garder la porte choisie au départ, ou de reporter son choix sur l’autre porte restée fermée.

Que devait faire l’invité pour maximiser ses chances de gagner l’automobile ? Quelle était sa chance de gagner l’automobile en faisant le meilleur choix ?

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72. Babar et les bananes !  * ** ***

Durant sa vie, l’éléphant Babar a régulièrement transporté au marché, sur son dos, sa production de bananes. Son appétit était tel qu’à la fin de chaque kilomètre parcouru, il consommait une banane. Le malin Babar a toujours réussi à amener au marché le maximum de bananes possible.

Dans les six cas suivants, trouvez le nombre de bananes amenées au marché.

Dans la colonne A, vous trouvez sa production en nombre de bananes.

Dans la colonne B, vous avez la distance, en kilomètres, entre le lieu de production et le marché.

Dans la colonne C, les nombres représentent le nombre maximum de bananes que Babar était capable de transporter (dans sa jeunesse, il n’était pas très robuste).

 
A
B
C
a)
7
3
4
b)
18
5
6
c)
23
5
6
d)
23
3,2
6
e)
60
10
21
f)
3900
1000
1050

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73. Les vitesses moyennes !  ** ***

Pour se rendre à son lieu de travail, Luc suit toujours le même chemin, que ce soit à l’aller ou au retour.

a) Lundi, il s’est déplacé à pied. A l’aller, il a fait du 5 km/h, et au retour du 7,5 km/h. Quelle a été sa vitesse moyenne, en km/h, entre l’aller et le retour ?

b) Mardi, il est allé au travail en vélo. Au retour, il a roulé à 30 km/h. Quelle a été sa vitesse à l’aller si sa vitesse moyenne entre l’aller et le retour a été de 24 km/heure ?

c) Mercredi, il a voyagé en voiture. Pris dans un bouchon, il n’a pu faire l’aller qu’à 25 km/h. A quelle vitesse doit-il revenir chez lui pour que sa vitesse moyenne entre l’aller et le retour soit le double de sa vitesse à l’aller ?

d) Lorsqu’une moitié d’un parcours est effectuée à la vitesse v1, et que la seconde moitié est réalisée à la vitesse v2, il existe une formule permettant de trouver la vitesse moyenne vm entre l’aller et le retour. Déterminez vm, en fonction de v1 et de v2.

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74. Règle de Golomb * **

Une règle de Golomb (nom donné en l’honneur du mathématicien Solomon Wolf Golomb, né en 1932 à Baltimore aux Etats-Unis, lequel est à l’origine de cette règle) est une règle munie de marques à des positions toujours entières. Chaque couple de marques de cette règle doit mesurer une longueur différente de toute autre paire de marques. La première marque, sauf indication contraire, est 0.

La règle de Golomb dessinée ci-dessous permet de mesurer six longueurs différentes :

1 (1 - 0) ; 2 (3 - 1) ; 3 (3 - 0) ; 4 (7 - 3) ; 6 (7 - 1) ; 7 (7 - 0).

Au lieu de dessiner une règle de Golomb, on se contente souvent de ne noter que les marques de la règle. Ainsi, dans notre exemple, la règle est remplacée par (0, 1, 3, 7).

Par définition, on dit que :

  1. L'ordre d'une règle de Golomb est le nombre de marques qu'elle porte.
  2. La longueur d'une règle de Golomb est la plus grande distance entre deux de ses marques.
  3. Une règle de Golomb est parfaite si elle permet de mesurer toutes les distances entre 0 et la longueur de la règle. Il n'existe pas de règle parfaite de plus de 4 marques.
  4. La plus courte règle de Golomb pour un ordre donné s'appelle une règle de Golomb optimale.

Remarque : chaque règle de Golomb possède une règle symétrique. La règle (0, 1, 3, 7) est symétrique à la règle (0, 4, 6, 7). Habituellement, si on mentionne une règle de Golomb, on ne mentionne pas celle qui lui est symétrique.

a) Prenons la règle donnée en exemple (0, 1, 3, 7). Quel est son ordre ? Quelle est sa longueur ? Est-elle parfaite (si ce n’est pas le cas, dessinez une règle parfaite à 4 marques) ? Est-elle optimale ?

b) Cherchez trois règles à cinq marques dont la longueur ne dépasse pas 13.

c) Cherchez deux règles à huit marques dont la longueur ne dépasse pas 44.

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75. Les billes *** ****

a) Trois sacs, A, B et C, contiennent chacun 50 billes. L’un d’eux ne renferme que des billes de 10 g. Un autre ne contient que des billes de 11 g, et un autre ne recèle que des billes de 9 g. Afin de déterminer la masse des billes de chaque sac, on extrait a billes du sac A, b billes du sac B et c billes du sac C. Ensuite, on procède à une seule pesée en mettant l’ensemble des billes extraites sur une balance électronique. On souhaite que le nombre total de billes sorties des sacs soit le plus petit possible et on veut que 0 soit plus petit ou égal à a, que a soit plus petit ou égal à b, et que b soit plus petit ou égal à c.

Combien faut-il sortir de billes de chaque sac ?

b) Quatre sacs, A, B, C et D, contiennent chacun 50 billes. Deux sacs contiennent uniquement des billes de 10 g. Un sac ne contient que des billes de 11 g et un autre sac ne renferme que des billes de 9 g. Afin de déterminer la masse des billes de chaque sac, on extrait a billes du sac A, b billes du sac B, c billes du sac C et d billes du sac D. Ensuite, on procède à une seule pesée en mettant l’ensemble des billes extraites sur une balance électronique. On souhaite que le nombre total de billes sorties des sacs soit le plus petit possible et on veut que 0 soit plus petit ou égal à a, que a soit plus petit ou égal à b, que b soit plus petit ou égal à c, et que c soit plus petit ou égal à d.

Combien faut-il sortir de billes de chaque sac ?

c) Huit sacs, A, B, C, D, E, F, G et H, contiennent chacun 50 billes. Six sacs contiennent uniquement des billes de 10 g. Un sac ne contient que des billes de 11 g et un autre sac ne renferme que des billes de 9 g. Afin de déterminer la masse des billes de chaque sac, on extrait a billes du sac A, b billes du sac B, c billes du sac C, d billes du sac D, etc. Ensuite, on procède à une seule pesée en mettant l’ensemble des billes extraites sur une balance électronique. On souhaite que le nombre total de billes sorties des sacs soit le plus petit possible et on veut que 0 soit plus petit ou égal à a, que a soit plus petit ou égal à b, que b soit plus petit ou égal à c, que c soit plus petit ou égal à d, etc.

Combien faut-il sortir de billes de chaque sac ?


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76. La lampe magique !  * **

Guy appuie sur l’interrupteur de la lampe magique. Celle-ci s’allume pendant une minute, puis s’éteint pendant une demi-minute, puis s’allume pendant un quart de minute, puis s’éteint pendant un huitième de minute, puis s’allume pendant un seizième de minute, et ainsi de suite, indéfiniment, le temps de chaque étape étant la moitié de l’étape précédente.

a) La lampe magique sera-t-elle allumée une minute et 58 secondes après l’appui sur l’interrupteur ?

b) La lampe magique sera-t-elle allumée deux minutes après l’appui sur l’interrupteur ?


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77. Les degrés Celsius et Fahrenheit **  ***

Pour mesurer la température (T), la plupart des pays utilisent le degré Celsius (°C). Les Etats-Unis utilisent le degré Fahrenheit (°F).

0° C correspond à 32° F, et 100° C est équivalent à 212° F.

0° C est la température de congélation de l’eau, et 100° C est la température d’ébullition de l’eau.

Le zéro absolu est la température la plus basse qui puisse exister. Il correspond à environ - 273° C.

La relation entre les deux systèmes de mesure est donnée par T (°F) = 1,8 x T (°C) + 32.

a) Quel est l’équivalent en degrés Fahrenheit de 20° C, et de -15° C ?

b) Quel est l’équivalent en degrés Celsius de 100° F, et de -15° F ?

c) Quelle est la température dont les mesures en degrés Celsius et en degrés Fahrenheit sont identiques ?

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78. Les sept prisonniers !  *** ****

Dans une prison, il y a sept prisonniers. Chacun d’eux est seul dans sa cellule, ne peut pas communiquer avec les autres, et n’a aucun moyen de savoir ce qui se passe en dehors de sa cellule.

Un jour, le directeur réunit les sept prisonniers, et leur dit ceci : « Je vous propose un défi qui commencera demain. Chaque jour, un gardien fera venir dans cette salle l’un de vous, choisi au hasard, ce qui signifie qu’un même prisonnier peut y venir plusieurs jours de suite. A l’intérieur de cette salle, il n’y a qu’une ampoule et un interrupteur, lequel permet d’allumer ou d’éteindre la lumière de cette ampoule. Votre seul droit sera d’appuyer sur l’interrupteur, si vous le souhaitez. Personne d’autre que vous ne touchera l’interrupteur. Vous gagnerez le défi lorsque l’un de vous affirmera avec justesse que vous êtes tous les sept passés au moins une fois dans cette salle. Au début du défi, la lumière sera éteinte. Dernière précision, si le défi est gagné, vous serez libérés, sinon vous serez fusillés. Vous avez maintenant une heure pour définir ensemble une stratégie. Ensuite, les gardiens vous reconduiront dans vos cellules. »

Quelle stratégie doivent adopter les prisonniers pour être libérés ?

Cette énigme me plaît beaucoup car la donnée est simple, sans piège, et aisément compréhensible par tous ceux dont les mathématiques ne sont plus qu’un lointain souvenir. Comment quantifier la difficulté de cette énigme ? La solution, si elle n’est pas difficile d’un point de vue mathématique, exige beaucoup d’imagination et de logique.
Essayez de la résoudre en y réfléchissant une quinzaine de minutes, à plusieurs occasions, si nécessaire, à quelques jours d’intervalles. Si elle vous échappe encore, alors, avant d’aller voir la solution, lisez l’indice ici.

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79. Le partage des billes !  ** ***

Quelques amis jouent avec 120 billes. Ils se les partagent de manière parfaitement équitable. Ensuite, par tirage à la courte paille, ils déterminent un perdant. Ce perdant doit donner le même nombre de billes (au minimum 1 bille) à chacun de ses amis. Ensuite, ils déterminent à nouveau un perdant par tirage à la courte paille, lequel doit donner le même nombre de billes (au minimum 1 bille) à chacun de ses amis. Le jeu continue ainsi, toujours de la même manière. A un certain moment, avant de procéder à un nouveau tirage, l’un d’eux n’a plus de billes et un autre en a 12.

Combien y a-t-il de personnes participant à ce jeu (donnez tous les cas possibles) ?

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